The Fundamental Theorem of Calculus and Definite Integrals · Théorème fondamental du calcul et intégrales définies
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| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | primitive |
Compute an area without adding rectangles
- Riemann sums give the idea of a definite integral, but summing infinitely many rectangles is impractical.
- The second part of the Fundamental Theorem of Calculus gives a shortcut.
- Find an antiderivative 原函数 $F$ (a function whose derivative is $f$), then subtract its values at the limits.
- Integration becomes "undo the derivative, then plug in two numbers."
Calculer une aire sans additionner de rectangles
- Les sommes de Riemann donnent l'idée d'une intégrale définie, mais sommer infiniment de rectangles est irréalisable.
- La seconde partie du Théorème Fondamental du Calcul donne un raccourci.
- Trouvez une primitives 原函数 $F$ (une fonction dont la dérivée est $f$), puis soustrayez ses valeurs aux bornes.
- L'intégration devient « annuler la dérivée, puis insérer deux nombres ».
A function $F$ with $F'=f$ is called an ____ of $f$. · Une fonction $F$ avec $F'=f$ est appelée une ____ de $f$.
FTC Part 2 evaluates an antiderivative at the limits. · FTC Partie 2 évalue une primitive aux limites.
The evaluation theorem
- If $F'=f$ (so $F$ is an antiderivative of $f$), then:
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
- Compute $F$, evaluate it at the top limit and the bottom limit, and subtract.
- The exact signed area drops out — no rectangles, no limits of sums.
Le théorème d'évaluation
- Si $F'=f$ (donc $F$ est une primitive de $f$), alors :
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
- Calculez $F$, évaluez-le à la borne supérieure et à la borne inférieure, et soustrayez.
- L'aire signée exacte tombe naturellement — pas de rectangles, pas de limites de sommes.
The exact area, computed · L'aire exacte, calculée
y = x²
FTC Part 2 turns this shaded area into $F(2)-F(0)$ — an antiderivative evaluated at the limits. · FTC Partie 2 transforme cette aire ombragée en $F(2)-F(0)$ — une primitive évaluée aux limites.
FTC Part 2 says $\int_a^b f\,dx=$ · FTC Partie 2 dit que $\int_a^b f\,dx=$
Evaluate an antiderivative at upper minus lower limit. · Évaluer une primitive à la limite supérieure moins la limite inférieure.
The evaluation bar notation
- A tidy way to show the two-step evaluation: $\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)$.
- Write the antiderivative in brackets with the limits, then subtract "top minus bottom."
- Keep the order: upper limit value minus lower limit value.
- Reversing it flips the sign (matching the swap-limits property).
La notation de barre d'évaluation
- Une manière propre de montrer l'évaluation en deux étapes : $\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)$.
- Écrivez la primitive entre crochets avec les bornes, puis soustrayez « supérieur moins inférieur ».
- Gardez l'ordre : valeur de la borne supérieure moins valeur de la borne inférieure.
- L'inverser inverse le signe (correspondant à la propriété d'inversion des bornes).
Evaluate · Évaluer $\int_0^2 x^2\,dx$ using $F(x)=\tfrac{x^3}{3}$. (Enter a decimal.) · Évaluer $\int_0^2 x^2\,dx$ en utilisant $F(x)=\tfrac{x^3}{3}$. (Entrer un décimal.)
$\tfrac{8}{3}-0=\tfrac83\approx2.667$.
Computing $F(a)-F(b)$ instead of $F(b)-F(a)$ gives the correct value. · Calculer $F(a)-F(b)$ au lieu de $F(b)-F(a)$ donne la bonne valeur.
That flips the sign — use upper minus lower. · Cela inverse le signe — utiliser supérieur moins inférieur.
Evaluate · Évaluer $\int_1^3 2x\,dx$ using $F(x)=x^2$. · Évaluer $\int_1^3 2x\,dx$ en utilisant $F(x)=x^2$.
$F(3)-F(1)=9-1=8$.
Any antiderivative works
- If $F$ is one antiderivative, so is $F+C$ for any constant — but the $+C$ cancels in $F(b)-F(a)$.
- So for a definite integral you can pick the simplest antiderivative and ignore $+C$.
- (The constant only matters for indefinite integrals, lesson 6.8.)
- Double-check by differentiating your $F$: you should get $f$ back.
N'importe quelle primitive fonctionne
- Si $F$ est une primitive, c'est aussi le cas de $F+C$ pour toute constante — mais la $+C$ s'annule dans $F(b)-F(a)$.
- Donc pour une intégrale définie, vous pouvez choisir la primitive la plus simple et ignorer $+C$.
- (La constante ne compte que pour les intégrales indéfinies, leçon 6.8.)
- Vérifiez en dérivant votre $F$ : vous devriez retrouver $f$.
For a definite integral, the constant $+C$ of the antiderivative... · Pour une intégrale définie, la constante $+C$ de la primitive...
$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$.
You must use a genuine antiderivative ($F'=f$), then compute $F(b)-F(a)$ in that order. Swapping to $F(a)-F(b)$ flips the sign. The $+C$ cancels in a definite integral, so don't fret over it here — but do verify $F'=f$, or the whole answer is wrong.
Vous devez utiliser une vraie primitive ($F'=f$), puis calculer $F(b)-F(a)$ dans cet ordre. Passer à $F(a)-F(b)$ inverse le signe. La $+C$ s'annule dans une intégrale définie, donc ne vous inquiétez pas pour elle ici — mais vérifiez bien $F'=f$, sinon toute la réponse sera fausse.
Evaluate $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$.
- An antiderivative of $x^2$ is $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ (since $F'=x^2$).
- $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac{2^3}{3}-\tfrac{0^3}{3}=\tfrac{8}{3}$.
- That confirms the earlier Riemann-sum estimate of $\approx2.67$.
Évaluez $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$.
- Une primitive de $x^2$ est $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ (puisque $F'=x^2$).
- $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac{2^3}{3}-\tfrac{0^3}{3}=\tfrac{8}{3}$.
- Cela confirme l'estimation précédente de somme de Riemann de $\approx2.67$.
FTC Part 2: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, where $F$ is any antiderivative of $f$ ($F'=f$). Find $F$, evaluate at the upper minus the lower limit. The $+C$ cancels, so any antiderivative works — this turns area into simple arithmetic.
TFC Partie 2 : $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, où $F$ est n'importe quelle primitive de $f$ ($F'=f$). Trouvez $F$, évaluez à la borne supérieure moins la borne inférieure. La $+C$ s'annule, donc n'importe quelle primitive fonctionne — cela transforme l'aire en arithmétique simple.