Stellar radii · Rayons stellaires
| English | Français |
|---|---|
| temperature/ˈtemprɪtʃə/ | température |
| Wien's displacement law/viːnz dɪˈspleɪsmənt lɔː/ | loi de déplacement de Wien |
| Stefan-Boltzmann law/ˈstefən ˈbɒltsmən lɔː/ | loi de Stefan-Boltzmann |
| blackbody/ˈblækbɒdi/ | corps noir |
| wavelength/ˈweɪvleŋθ/ | longueur d'onde |
| Stefan-Boltzmann constant/ˈstefən ˈbɒltsmən ˈkɒnstənt/ | constante de Stefan-Boltzmann |
No telescope can see a star as a disc
- Every star except the Sun is a point in even the largest telescope. Its disc is far too small to resolve.
- Yet the radius of a star thousands of light years away is a routine calculation, and it is done from two things you can measure: its colour and its brightness.
- Colour gives the surface temperature. Brightness and distance give the total power. Those two together give the size.
- This lesson is Wien's displacement law 维恩位移定律 and the Stefan-Boltzmann law 斯特藩-玻尔兹曼定律, and the three-step chain that joins them.
Aucun télescope ne peut voir une étoile comme un disque
- Toute étoile sauf le Soleil apparaît comme un point même dans le plus grand télescope. Son disque est bien trop petit pour être resolving.
- Pourtant, le rayon d'une étoile située à des milliers d'années-lumière est un calcul routine, basé sur deux choses que vous pouvez mesurer : sa couleur et sa luminosité.
- La couleur donne la température de surface. La luminosité et la distance donnent la puissance totale. Ces deux éléments combinés donnent la taille.
- Cette leçon concerne la loi de déplacement de Wien 维恩位移定律 et la loi de Stefan-Boltzmann 斯特藩-玻尔兹曼定律, ainsi que la chaîne à trois étapes qui les relie.
Wien's displacement law
- A hot body radiates a continuous blackbody 黑体 spectrum whose peak sits at a wavelength 波长 set by its temperature 温度:
- The wavelength at which the intensity is a maximum is inversely proportional to the thermodynamic temperature. Say "wavelength of maximum intensity", not just "the wavelength".
- The temperature must be in kelvin, and the law describes the peak of the continuous curve, not the spectral lines.
- Hotter means bluer: a red star near $3000\ \text{K}$ peaks in the infrared, the Sun near $5800\ \text{K}$ peaks around $500\ \text{nm}$, and a blue-white star near $20000\ \text{K}$ peaks in the ultraviolet.
Hotter, taller, and further left
Loi de déplacement de Wien
- Un corps chaud émet un spectre continu de corps noir 黑体 dont le maximum se situe à une longueur d'onde 波长 fixée par sa température 温度 :
- La longueur d'onde correspondant à l'intensité maximale est inversement proportionnelle à la température thermodynamique. Dites « longueur d'onde d'intensité maximale », pas simplement « la longueur d'onde ».
- La température doit être en kelvin, et la loi décrit le maximum de la courbe continue, pas les raies spectrales.
- Plus chaud signifie plus bleu : une étoile rouge proche de $3000\ \text{K}$ présente un maximum dans l'infrarouge, le Soleil près de $5800\ \text{K}$ a un maximum autour de $500\ \text{nm}$, et une étoile blanc-bleu proche de $20000\ \text{K}$ a un maximum dans l'ultraviolet.
Plus chaud, plus haut et plus à gauche
Hotter stars have their spectral peak (Wien's law) at a ____ wavelength. · Les étoiles plus chaudes ont leur pic spectral (loi de Wien) à une longueur d'onde ____.
$\lambda_{\max}T = b$, so a higher $T$ means a smaller $\lambda_{\max}$ — toward the blue. · $\lambda_{\max}T = b$, donc un $T$ plus élevé signifie un $\lambda_{\max}$ plus petit — vers le bleu.
Which belong in a statement of Wien's displacement law? Select all · tout that apply. · Quels éléments appartiennent à une énoncé de la loi du déplacement de Wien ? Cochez toutes les réponses applicables.
It is about the peak of the continuous black-body curve, not the lines. Saying only the wavelength loses the mark; say the wavelength of maximum intensity. · Il s'agit du pic de la courbe continue du corps noir, pas des raies. Ne dire que la longueur d'onde est incomplet ; dites la longueur d'onde de l'intensité maximale.
Worked example: taking a star's temperature
- A star's spectrum peaks at $500\ \text{nm}$. Find its surface temperature.
- $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2.90\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5800\ \text{K}$.
- Convert nanometres to metres first. The constant is in metre kelvin, so a wavelength in nm gives a temperature out by $10^9$.
- This one measurement is the whole reason a star's colour is useful: colour is temperature.
Exemple résolu : déterminer la température d'une étoile
- Le spectre d'une étoile présente un maximum à $500\ \text{nm}$. Trouver sa température de surface.
- $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2.90\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5800\ \text{K}$.
- Convertir d'abord les nanomètres en mètres. La constante est en mètre-kelvin, donc une longueur d'onde en nm donnera une température erronée d'un facteur $10^9$.
- Cette seule mesure explique toute l'utilité de la couleur d'une étoile : la couleur est la température.
A star's spectrum peaks at $\lambda_{\max} = 500\ \text{nm}$. What is its surface temperature? ($b = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$) · Le spectre d'une étoile présente un pic à $\lambda_{\max} = 500\ \text{nm}$. Quelle est sa température de surface ? ($b = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$)
$T = \dfrac{b}{\lambda_{\max}} = \dfrac{2.9 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} \approx 5800\ \text{K}$ — about the Sun. · $T = \dfrac{b}{\lambda_{\max}} = \dfrac{2.9 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} \approx 5800\ \text{K}$ — environ celui du Soleil.
Match each star to where its spectrum peaks. · Associez chaque étoile à l'endroit où son spectre présente un pic.
Hotter peaks shorter. This one measurement is why a star's colour is useful: colour is temperature. · Les pics plus chauds correspondent à des longueurs d'onde plus courtes. Cette seule mesure explique pourquoi la couleur d'une étoile est utile : la couleur est la température.
The Stefan-Boltzmann law
- Treat the star as a blackbody sphere of radius $r$ at surface temperature $T$:
- $\sigma$ is the Stefan-Boltzmann constant 斯特藩-玻尔兹曼常量.
- Two dependences, and they are very different in strength. $L \propto r^2$: twice the radius, four times the luminosity. $L \propto T^4$: twice the temperature, sixteen times the luminosity.
- So a small error in temperature is a large error in luminosity, which is why the peak wavelength must be read carefully.
La loi de Stefan-Boltzmann
- Traiter l'étoile comme une sphère de corps noir de rayon $r$ à la température de surface $T$ :
- $\sigma$ est la constante de Stefan-Boltzmann 斯特藩-玻尔兹曼常量.
- Deux dépendances, et elles sont très différentes en intensité. $L \propto r^2$ : le double du rayon, quatre fois la luminosité. $L \propto T^4$ : le double de la température, seize fois la luminosité.
- Ainsi, une petite erreur sur la température entraîne une grande erreur sur la luminosité, c'est pourquoi la longueur d'onde maximale doit être lue avec soin.
A star's luminosity and radius · Luminosité et rayon d'une étoile
L ∝ r²
For a given surface temperature, a star's luminosity grows with the SQUARE of its radius (Stefan's law). · Pour une température de surface donnée, la luminosité d'une étoile augmente avec le CARRÉ de son rayon (loi de Stefan).
The Stefan–Boltzmann law gives a star's luminosity as: · La loi de Stefan-Boltzmann donne la luminosité d'une étoile comme étant :
$L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$ — strongly dependent on both radius and temperature. · $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$ — fortement dépendante du rayon et de la température.
Using $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, which are true? Select all · tout that apply. · En utilisant $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, lesquelles des affirmations suivantes sont vraies ? Cochez toutes les réponses applicables.
L goes as r^2 and T^4. That fourth power is why the peak wavelength must be read carefully and corrected for redshift. · L varie comme r^2 et T^4. Cette puissance quatrième explique pourquoi la longueur d'onde du pic doit être lue avec soin et corrigée pour le décalage vers le rouge.
Worked example: the luminosity of a Sun-like star
- A star has radius $7.0\times10^{8}\ \text{m}$ and surface temperature $5800\ \text{K}$. Find its luminosity.
- $L = 4\pi\sigma r^2 T^4 = 4\pi(5.67\times10^{-8})(7.0\times10^{8})^2(5800)^4 = 3.9\times10^{26}\ \text{W}$.
- Square the radius and raise the temperature to the fourth power. On a calculator, do $T^4$ as its own step and check its magnitude: $(5800)^4 \approx 1.1\times10^{15}$.
Exemple résolu : la luminosité d'une étoile semblable au Soleil
- Une étoile a un rayon $7.0\times10^{8}\ \text{m}$ et une température de surface $5800\ \text{K}$. Trouver sa luminosité.
- $L = 4\pi\sigma r^2 T^4 = 4\pi(5.67\times10^{-8})(7.0\times10^{8})^2(5800)^4 = 3.9\times10^{26}\ \text{W}$.
- Élever le rayon au carré et la température à la puissance quatrième. Sur une calculatrice, faire $T^4$ comme étape séparée et vérifier son ordre de grandeur : $(5800)^4 \approx 1.1\times10^{15}$.
If a star's temperature doubles (same radius), its luminosity multiplies by: · Si la température d'une étoile double (même rayon), sa luminosité est multipliée par :
$L \propto T^{4}$, so doubling $T$ gives $2^{4} = 16$ times the luminosity. · $L \propto T^{4}$, donc doubler $T$ donne $2^{4} = 16$ fois la luminosité.
Same luminosity, opposite stars
- Because $L$ depends on both $r$ and $T$, two completely different stars can have the same luminosity.
- A red giant is cool, so its $T^4$ is small, but it is enormous, and the $r^2$ makes up for it.
- A white dwarf is very hot but tiny: a huge $T^4$ against a minute $r^2$.
- Whenever an answer looks surprising, check it this way. A star $140$ times as luminous as the Sun but only $1.6$ times as hot must be considerably bigger, since $L \propto r^2T^4$.
Même luminosité, étoiles opposées
- Comme $L$ dépend des deux $r$ et $T$, deux étoiles totalement différentes peuvent avoir la même luminosité.
- Un géante rouge est froide, donc son $T^4$ est faible, mais elle est immense, et le $r^2$ compense.
- Une naine blanche est très chaude mais minuscule : un enorme $T^4$ contre un minute $r^2$.
- Chaque fois qu'une réponse semble surprenante, vérifiez-la ainsi. Une étoile $140$ fois plus lumineuse que le Soleil mais seulement $1.6$ fois aussi chaude doit être considérablement plus grande, car $L \propto r^2T^4$.
Put the three steps for estimating a star's radius in order. · Placez les trois étapes pour estimer le rayon d'une étoile dans l'ordre.
Each step is one line. Keep full precision of L and T until the end, because T is raised to the fourth power. · Chaque étape correspond à une ligne. Conservez toute la précision de L et T jusqu'à la fin, car T est élevé à la puissance quatre.
Estimating a radius, in three steps
- One. Measure $\lambda_{\text{max}}$ and get $T$ from Wien's law.
- Two. Get $L$, usually from the flux and distance: $L = 4\pi d^2 F$.
- Three. Solve the Stefan-Boltzmann law for the radius:
- Each step is one line. Keep the full precision of $L$ and $T$ until the end, because $T$ is raised to the fourth power and rounding it early is expensive.
Estimer un rayon, en trois étapes
- Un. Mesurer $\lambda_{\text{max}}$ et obtenir $T$ grâce à la loi de Wien.
- Deux. Obtenir $L$, généralement à partir du flux et de la distance : $L = 4\pi d^2 F$.
- Trois. Résoudre la loi de Stefan-Boltzmann pour le rayon :
- Chaque étape tient sur une ligne. Conserver la précision complète de $L$ et $T$ jusqu'à la fin, car $T$ est élevé à la quatrième puissance et arrondir tôt coûte cher.
Combining Wien's law and the Stefan–Boltzmann law lets us estimate a star's radius. · Combiner la loi de Wien et la loi de Stefan-Boltzmann nous permet d'estimer le rayon d'une étoile.
Wien gives $T$, the flux and distance give $L$, then $r = \sqrt{\dfrac{L}{4\pi\sigma T^{4}}}$. · Wien donne $T$, le flux et la distance donnent $L$, puis $r = \sqrt{\dfrac{L}{4\pi\sigma T^{4}}}$.
Sunlight has flux 1370 W/m^2 at 1.50e11 m and the Sun's spectrum peaks at 500 nm. What is the Sun's radius, in units of 1e8 m? · Le Soleil a un flux 1370 W/m^2 à 1.50e11 m et le spectre du Soleil atteint son maximum à 500 nm. Quel est le rayon du Soleil, en unités de 1e8 m ?
L = 4 pi d^2 F = 3.87e26 W, T = 5800 K, then r = sqrt(L / (4 pi sigma T^4)) = 6.9e8 m against an accepted 6.96e8 m. Three one-line formulae, no telescope resolution needed. · L = 4 pi d^2 F = 3.87e26 W, T = 5800 K, alors r = sqrt(L / (4 pi sigma T^4)) = 6.9e8 m par rapport à une valeur acceptée de 6.96e8 m. Trois formules sur une seule ligne, aucune résolution télescopique n'est nécessaire.
Worked example: the radius of the Sun, from scratch
- Sunlight at the Earth has flux $1370\ \text{W/m}^2$ at $1.50\times10^{11}\ \text{m}$, and the Sun's spectrum peaks at $500\ \text{nm}$. Estimate the Sun's radius.
- Luminosity: $L = 4\pi d^2 F = 4\pi(1.50\times10^{11})^2(1370) = 3.87\times10^{26}\ \text{W}$.
- Temperature: $T = 2.90\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5800\ \text{K}$.
- Radius: $r = \sqrt{\dfrac{3.87\times10^{26}}{4\pi(5.67\times10^{-8})(5800)^4}} = 6.9\times10^{8}\ \text{m}$.
- The accepted value is $6.96\times10^{8}\ \text{m}$. Three one-line formulae, no telescope resolution required.
Exemple résolu : le rayon du Soleil, de zéro
- La lumière solaire à la Terre a un flux $1370\ \text{W/m}^2$ à $1.50\times10^{11}\ \text{m}$, et le spectre du Soleil présente un pic à $500\ \text{nm}$. Estimer le rayon du Soleil.
- Luminosité : $L = 4\pi d^2 F = 4\pi(1.50\times10^{11})^2(1370) = 3.87\times10^{26}\ \text{W}$.
- Température : $T = 2.90\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5800\ \text{K}$.
- Rayon : $r = \sqrt{\dfrac{3.87\times10^{26}}{4\pi(5.67\times10^{-8})(5800)^4}} = 6.9\times10^{8}\ \text{m}$.
- La valeur acceptée est $6.96\times10^{8}\ \text{m}$. Trois formules sur une seule ligne, sans nécessité de résolution télescopique.
In $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ and · et $F = L/(4\pi d^2)$, the lengths $r$ and · et $d$ mean the same thing. · Dans $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ et $F = L/(4\pi d^2)$, les longueurs $r$ et $d$ signifient la même chose.
r is the star's own radius; d is its distance from us. Swapping them is the commonest error in this topic, and the two differ by many orders of magnitude. · r est le propre rayon de l'étoile ; d est sa distance par rapport à nous. Les inverser est l'erreur la plus fréquente dans ce sujet, et les deux diffèrent de plusieurs ordres de grandeur.
Marks that slip away
- Wien's law is about the wavelength of maximum intensity, and $T$ must be in kelvin.
- Convert $\lambda_{\text{max}}$ to metres; the constant $b$ is in metre kelvin.
- In $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, $r$ is the star's radius; in $F = L/(4\pi d^2)$, $d$ is the distance to us. Two different lengths, and swapping them is the commonest error in this topic.
- Keep full precision until the last line, because $T$ is to the fourth power.
- For a receding galaxy, correct the observed peak before using Wien's law, or the temperature comes out too low.
Pièges qui font perdre des points
- La loi de Wien concerne la longueur d'onde de l'intensité maximale, et $T$ doit être en kelvin.
- Convertir $\lambda_{\text{max}}$ en mètres ; la constante $b$ est en mètre-kelvin.
- Dans $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, $r$ est le rayon de l'étoile ; dans $F = L/(4\pi d^2)$, $d$ est la distance jusqu'à nous. Deux longueurs différentes, et les échanger est l'erreur la plus fréquente dans ce sujet.
- Conserver la précision complète jusqu'à la dernière ligne, car $T$ est à la puissance quatre.
- Pour une galaxie qui s'éloigne, corriger le pic observé avant d'utiliser la loi de Wien, sinon la température sortira trop basse.
You've got it
- Wien's displacement law: the wavelength of maximum intensity is inversely proportional to the thermodynamic temperature, $\lambda_{\text{max}}T = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$
- Stefan-Boltzmann: $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, so luminosity goes as the square of the radius and the fourth power of the temperature
- a radius comes in three steps: $\lambda_{\text{max}} \to T$, then $F$ and $d \to L$, then $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^4)}$
- keep $r$ (the star) and $d$ (to us) apart, and hold full precision until the end because of the $T^4$
Vous avez compris
- Loi de déplacement de Wien : la longueur d'onde de l'intensité maximale est inversement proportionnelle à la température thermodynamique, $\lambda_{\text{max}}T = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$
- Stefan-Boltzmann : $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, donc la luminosité varie comme le carré du rayon et la puissance quatrième de la température
- un rayon s'obtient en trois étapes : $\lambda_{\text{max}} \to T$, puis $F$ et $d \to L$, puis $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^4)}$
- garder $r$ (l'étoile) et $d$ (jusqu'à nous) séparés, et conserver la précision complète jusqu'à la fin à cause du $T^4$