Linear combinations of random variables · Combinaisons linéaires de variables aléatoires
| English | Français |
|---|---|
| variance/ˈveərɪəns/ | écart |
| linear combination/ˈlɪnɪə ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | combinaison linéaire |
| random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variable aléatoire |
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformation linéaire |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | indépendant |
The mathematics of combining
- If you know the mean and variance 方差 of two separate processes, what happens when you add them together?
- Linear combinations 线性组合 let you predict the behaviour of combined random variables 随机变量 — essential for quality control, finance, and engineering.
Les mathématiques de combinaison
- Si vous connaissez la moyenne et la variance 方差 de deux processus séparés, que se passe-t-il quand on les additionne ?
- Les combinaisons linéaires 线性组合 vous permettent de prédire le comportement de variables aléatoires combinées 随机变量 — essentiel pour le contrôle qualité, la finance et l'ingénierie.
Linear combination lab · Laboratoire sur les combinaisons linéaires
E(aX + b) = aE(X) + b
Change a scaling factor and see how the expected value scales. · Changez un facteur d'échelle et voyez comment la valeur attendue s'échelle.
Linear transformations 线性变换 of a single variable
- For a single variable changed by a linear rule:
Worked example. $E(X) = 5$, $\text{Var}(X) = 4$. Let $Y = 3X + 2$. $E(Y) = 3(5) + 2 = 17$. $\text{Var}(Y) = 3^2(4) = 36$.
The constant $b$ vanishes from variance. Adding a constant shifts the mean but doesn't change the spread. $\text{Var}(X + 5) = \text{Var}(X)$, not $\text{Var}(X) + 25$.
The Poisson distribution Po(3); its mean and variance both equal lambda
Transformations linéaires 线性变换 d'une seule variable
- Pour une seule variable changée par une règle linéaire :
Exemple résolu. $E(X) = 5$, $\text{Var}(X) = 4$. Soit $Y = 3X + 2$. $E(Y) = 3(5) + 2 = 17$. $\text{Var}(Y) = 3^2(4) = 36$.
La constante $b$ disparaît de la variance. Ajouter une constante déplace la moyenne mais ne change pas l'étalonnage. $\text{Var}(X + 5) = \text{Var}(X)$, pas $\text{Var}(X) + 25$.
La distribution de Poisson Po(3) ; sa moyenne et sa variance valent toutes deux lambda
X has mean 5. What is E(3X − 1)? · X a une moyenne de 5. Quelle est E(3X − 1) ?
E(3X − 1) = 3E(X) − 1 = 3×5 − 1 = 14.
X has variance 4. What is Var(3X − 1)? · X a une variance de 4. Quelle est Var(3X − 1) ?
Var(3X − 1) = 3²×Var(X) = 9×4 = 36 (the −1 has no effect). · Var(3X − 1) = 3²×Var(X) = 9×4 = 36 (le −1 n'a aucun effet).
In Var(aX + b), the constant b: · Dans Var(aX + b), la constante b :
Adding a constant shifts the data but does not change its spread, so b drops out. · Ajouter une constante déplace les données mais ne change pas leur dispersion, donc b disparaît.
Two independent 独立 variables
- Note: variances always add (even for $X - Y$), because $(-1)^2 = 1$.
Deux variables indépendantes 独立
- Remarque : les variances s'additionnent toujours (même pour $X - Y$), car $(-1)^2 = 1$.
X and Y are independent. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X + Y) = ? · X et Y sont indépendants. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X + Y) = ?
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13 (variances add for independent variables). · Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 9 = 13 (les variances s'additionnent pour les variables indépendantes).
X and Y are independent. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X − Y) = ? · X et Y sont indépendants. Var(X) = 4, Var(Y) = 9. Var(X − Y) = ?
Var(X − Y) = Var(X) + (−1)²Var(Y) = 4 + 9 = 13. Variances always add. · Var(X − Y) = Var(X) + (−1)²Var(Y) = 4 + 9 = 13. Les variances s'additionnent toujours.
Distributions under linear combinations
- If $X$ is normal, so is $aX + b$; the sum of independent normals is normal.
- The sum of independent Poissons is Poisson: if $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$ and $Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$, then $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$.
Distributions sous combinaisons linéaires
- Si $X$ est normal, alors $aX + b$ l'est aussi ; la somme de normales indépendantes est normale.
- La somme de Poissons indépendantes est Poisson : si $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$ et $Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$, alors $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$.
If X ~ Po(3) and Y ~ Po(5) are independent, then X + Y ~ Po(8). · Si X ~ Po(3) et Y ~ Po(5) sont indépendants, alors X + Y ~ Po(8).
The sum of independent Poisson variables is Poisson with parameter λ₁ + λ₂ = 3 + 5 = 8. · La somme de variables de Poisson indépendantes suit une loi de Poisson avec le paramètre λ₁ + λ₂ = 3 + 5 = 8.
Worked example — combining normals
- $X \sim N(10, 4)$ and $Y \sim N(20, 9)$, independent. Find the distribution of $X + Y$.
- $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
- So $X + Y \sim N(30, 13)$.
- Linear combinations of normal distributions are normal; sums of independent Poisson distributions are Poisson.
Exemple résolu — combiner des normales
- $X \sim N(10, 4)$ et $Y \sim N(20, 9)$, indépendantes. Trouvez la distribution de $X + Y$.
- $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
- Donc $X + Y \sim N(30, 13)$.
- Les combinaisons linéaires de distributions normales sont normales ; les sommes de distributions de Poisson indépendantes sont de Poisson.
You've got it
- $E(aX+b) = aE(X) + b$; $\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$ (the $b$ drops, $a$ is squared)
- independent: $\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$
- normal stays normal under a linear rule; sums of independent Poissons are Poisson
Vous avez compris
- $E(aX+b) = aE(X) + b$ ; $\text{Var}(aX+b) = a^2\,\text{Var}(X)$ (le $b$ tombe, $a$ est carré)
- indépendante : $\text{Var}(aX+bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$
- la normale reste normale sous une règle linéaire ; les sommes de Poissons indépendantes sont de Poisson