Differential equations · Équations différentielles
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|---|---|
| decay/dɪˈkeɪ/ | décomposition |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | équation différentielle |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taux de variation |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | condition initiale |
| separable/ˈsepərəbl/ | séparable |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | constante d'intégration |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | solution particulière |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | solution générale |
The equation that predicts the future
- How fast does a population grow? How quickly does a radioactive substance decay 衰减? How does a cup of coffee cool?
- All these questions lead to differential equations 微分方程 — equations that link a quantity to its rate of change 变化率. Solving them predicts the future.
L'équation qui prédit l'avenir
- À quelle vitesse une population croît-elle ? À quelle vitesse une substance radioactive se désintègre-t-elle 衰减 ? Comment un café refroidit-il ?
- Toutes ces questions mènent aux équations différentielles 微分方程 — des équations qui relient une quantité à sa vitesse de variation 变化率. Les résoudre permet de prédire l'avenir.
What is a differential equation?
- A differential equation links a quantity to its rate of change.
- Example: $\dfrac{dy}{dx} = ky$ says the rate of growth is proportional to the current value — exponential growth.
Real-world example. Newton's law of cooling: $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{room}})$. The rate of cooling is proportional to how much hotter the object is than its surroundings.
The constant gives a family of curves; an initial condition 初始条件 picks out one
Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
- Une équation différentielle relie une quantité à sa vitesse de variation.
- Exemple : $\dfrac{dy}{dx} = ky$ indique que la vitesse de croissance est proportionnelle à la valeur actuelle — croissance exponentielle.
Exemple réel. Loi de refroidissement de Newton : $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{room}})$. La vitesse de refroidissement est proportionnelle à la différence de température entre l'objet et son environnement.
La constante donne une famille de courbes ; une condition initiale 初始条件 sélectionne l'une d'elles
The slope field · Le champ de pentes
dy/dx = a y
A differential equation gives the slope · pente everywhere — the solution is the curve that follows those slopes from y₀. · Une équation différentielle donne la pente partout — la solution est la courbe qui suit ces pentes depuis y₀.
A differential equation links a quantity to its rate of change. · Une équation différentielle relie une grandeur à sa vitesse de variation.
That is the defining feature: the equation involves both y and dy/dx (or higher derivatives). · C'est la caractéristique définissante : l'équation implique à la fois y et dy/dx (ou des dérivées d'ordre supérieur).
Separable 可分离变量 equations
- For a separable first-order equation: put all $y$ terms on one side, all $x$ terms on the other, then integrate both sides.
- Example: $\dfrac{dy}{dx} = xy \Rightarrow \dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
Don't forget the constant of integration 积分常数. When you integrate both sides, add $+C$ to one side. This constant determines which particular solution 特解 you get.
Équations séparables 可分离变量
- Pour une équation séparable du premier ordre : placez tous les termes $y$ d'un côté, tous les termes $x$ de l'autre, puis intégrez les deux côtés.
- Exemple : $\dfrac{dy}{dx} = xy \Rightarrow \dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
N'oubliez pas la constante d'intégration 积分常数. Lorsque vous intégrez les deux côtés, ajoutez $+C$ à l'un des côtés. Cette constante détermine quelle solution particulière 特解 vous obtenez.
To solve a separable first-order differential equation, you: · Pour résoudre une équation différentielle du premier ordre à variables séparables, vous :
Separate the variables, then integrate each side. · Séparez les variables, puis intégrez chaque côté.
General vs particular solutions
- The general solution 通解 contains a constant (a whole family of curves).
- An initial condition (a known value) fixes the constant → the particular solution.
Solutions générales vs solutions particulières
- La solution générale 通解 contient une constante (une famille entière de courbes).
- Une condition initiale (une valeur connue) fixe la constante → la solution particulière.
An initial condition is used to: · Une condition initiale sert à :
A known value fixes the arbitrary constant, turning the general solution into the particular one. · Une valeur connue fixe la constante arbitraire, transformant la solution générale en solution particulière.
The general solution of a differential equation contains an arbitrary constant. · La solution générale d'une équation différentielle contient une constante arbitraire.
Integrating introduces a constant, so the general solution is a whole family of curves. · L'intégration introduit une constante, donc la solution générale est une famille entière de courbes.
Worked example
- Solve $\dfrac{dy}{dx} = xy$ with $y = 1$ at $x = 0$.
- Separate: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$. Integrate: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
- Apply $y(0) = 1$: $\ln 1 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
- So $\ln y = \dfrac{x^2}{2} \Rightarrow y = e^{x^2/2}$.
allow_no_figure: Differential equations are solved algebraically — the solution process (separation of variables, integration) is the key content, not a diagram.
- Solve a first order differential equation to model real-life rates of change.
Exemple résolu
- Résolvez $\dfrac{dy}{dx} = xy$ avec $y = 1$ à $x = 0$.
- Séparez : $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$. Intégrez : $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
- Appliquez $y(0) = 1$ : $\ln 1 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
- Donc $\ln y = \dfrac{x^2}{2} \Rightarrow y = e^{x^2/2}$.
allow_no_figure: Les équations différentielles sont résolues algébriquement — le processus de résolution (séparation des variables, intégration) est le contenu clé, pas un diagramme.
- Résolvez une équation différentielle du premier ordre pour modéliser des variations de taux réelles.
Solve dy/dx = xy with y(0) = 1. At x = 2, y = e^(x²/2). Find y (2 dp). · Résolvez dy/dx = xy avec y(0) = 1. En x = 2, y = e^(x²/2). Trouvez y (2 dp).
y = e^(x²/2). At x = 2: y = e² ≈ 7.39. · y = e^(x²/2). En x = 2 : y = e² ≈ 7.39.
If ln y = x²/2 + C and y(0) = 1, what is C? · Si ln y = x²/2 + C et y(0) = 1, quelle est la valeur de C ?
ln 1 = 0 + C, so C = 0. · ln 1 = 0 + C, donc C = 0.
You've got it
- solve a separable equation by splitting variables and integrating both sides
- the general solution has a constant; an initial condition gives the particular solution
- a differential equation links a quantity to its rate of change
Vous avez compris
- résolvez une équation séparable en séparant les variables et en intégrant les deux côtés
- la solution générale a une constante ; une condition initiale donne la solution particulière
- une équation différentielle relie une quantité à sa vitesse de variation