Chi-squared tests · Tests du khi-deux
| English | Français |
|---|---|
| chi-squared/kaɪ skweəd/ | chi-deux |
| observed/ɒbˈzɜːvd/ | observé |
| expected/ekˈspektɪd/ | attendu |
| critical value/ˈkrɪtɪkl ˈvæljuː/ | valeur critique |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | degrés de liberté |
| goodness of fit/ˈɡʊdnəs ɒv fɪt/ | ajustement |
| independence/ˌɪndɪˈpendəns/ | indépendance |
| contingency table/kənˈtɪndʒənsi ˈteɪbl/ | tableau de contingence |
Does the data fit the theory?
- You expect a die to land equally on each face, or eye-colour to be independent of hair-colour. Does the data actually agree?
- The $\chi^2$ (chi-squared 卡方) test measures how far observed 观测 counts stray from what a model predicts — and whether that gap is too big to be chance.
Les données correspondent-elles à la théorie ?
- On s'attend à ce qu'un dé tombe également sur chaque face, ou que la couleur des yeux soit indépendante de celle des cheveux. Les données correspondent-elles réellement ?
- Le test $\chi^2$ (chi-carré 卡方) mesure à quel point les comptes observés 观测 s'écartent de ceux prédits par un modèle — et si cet écart est trop grand pour être dû au hasard.
Chi-squared test route · Parcours du test du khi-deux
Follow observed and expected counts to a test decision. · Suivez les effectifs observés et attendus jusqu'à une décision de test.
The test statistic
- Compare each observed count $O$ with the expected 期望 count $E$ from the model:
- A small $\chi^2$ means the data fits; a large one means it doesn't.
La statistique de test
- Comparer chaque compte observé $O$ avec le compte attendu 期望 $E$ issu du modèle :
- Une petite $\chi^2$ signifie que les données correspondent ; une grande signifie qu'elles ne correspondent pas.
The chi-squared test statistic is: · La statistique de test du khi-deux est :
χ² sums (observed − expected)² ÷ expected over all categories. · χ² somme (observé − attendu)² ÷ attendu sur toutes les catégories.
The rejection region
- Compare $\chi^2$ with a critical value 临界值 from the tables for the right degrees of freedom 自由度.
- If $\chi^2$ lands beyond the critical value (in the upper tail), reject the model.
A large χ² lands in the shaded tail — too big to be chance, so the model is rejected.
La zone de rejet
- Comparer $\chi^2$ à une valeur critique 临界值 issue des tables pour les bons degrés de liberté 自由度.
- Si $\chi^2$ se situe au-delà de la valeur critique (dans la queue supérieure), rejeter le modèle.
Un grand χ² atterrit dans la queue ombrée — trop grand pour être dû au hasard, donc le modèle est rejeté.
A large chi-squared value (beyond the critical value) leads you to reject the model. · Une grande valeur du khi-deux (au-delà de la valeur critique) vous amène à rejeter le modèle.
A large χ² means observed and expected differ too much to be chance. · Une grande χ² signifie que l'observé et l'attendu diffèrent trop pour être dus au hasard.
Worked example
- Observed counts $20, 30, 25, 25$, each expected to be $25$.
- $\chi^2 = \dfrac{(20-25)^2 + (30-25)^2 + 0 + 0}{25} = \dfrac{25 + 25}{25} = 2$.
- Compared with the critical value, a $\chi^2$ of $2$ is small — the data fits.
Exemple résolu
- Comptes observés $20, 30, 25, 25$, chacun attendu à $25$.
- $\chi^2 = \dfrac{(20-25)^2 + (30-25)^2 + 0 + 0}{25} = \dfrac{25 + 25}{25} = 2$.
- Comparé à la valeur critique, une $\chi^2$ de $2$ est faible — les données correspondent.
Observed counts 20, 30, 25, 25, each expected 25. What is χ² = Σ(O−E)²/E? · Effectifs observés 20, 30, 25, 25, chacun attendu 25. Quel est χ² = Σ(O−E)²/E ?
((−5)² + 5² + 0 + 0)/25 = 50/25 = 2.
Two uses
- Goodness of fit 拟合优度: does the data follow a proposed distribution (uniform, binomial, Poisson…)?
- Independence 独立性: in a contingency table 列联表, are the two classifications independent? (Expected $= \dfrac{\text{row total} \times \text{column total}}{\text{grand total}}$.)
Pool small expected frequencies. If any expected count is below 5, combine classes first — the $\chi^2$ approximation is unreliable for tiny expected counts.
Deux utilisations
- Ajustement (goodness of fit) 拟合优度 : les données suivent-elles une distribution proposée (uniforme, binomiale, Poisson… ) ?
- Indépendance 独立性 : dans un tableau de contingence 列联表, les deux classifications sont-elles indépendantes ? (Comptes attendus $= \dfrac{\text{row total} \times \text{column total}}{\text{grand total}}$.)
Pooler les petites fréquences attendues. Si un compte attendu est inférieur à 5, combiner les classes d'abord — l'approximation $\chi^2$ est peu fiable pour de très faibles comptes attendus.
Match each chi-squared use to what it tests. · Reliez chaque utilisation du khi-deux à ce qu'elle teste.
Goodness of fit checks a distribution; the independence test uses a contingency table. · L'ajustement vérifie une distribution ; le test d'indépendance utilise un tableau de contingence.
Before testing, pool any class whose expected frequency is below ______. · Avant de tester, regroupez toute classe dont l'effectif attendu est inférieur à ______.
The χ² approximation needs expected counts of at least 5; combine smaller ones. · L'approximation χ² nécessite des effectifs attendus d'au moins 5 ; combinez ceux qui sont plus petits.
You've got it
- $\chi^2 = \displaystyle\sum\frac{(O-E)^2}{E}$ — observed vs expected counts
- a large $\chi^2$ (beyond the critical value, upper tail) rejects the model
- uses: goodness of fit and independence; pool expected counts below 5
Vous avez compris
- $\chi^2 = \displaystyle\sum\frac{(O-E)^2}{E}$ — comptes observés vs comptes attendus
- une grande $\chi^2$ (au-delà de la valeur critique, queue supérieure) rejette le modèle
- utilisations : ajustement et indépendance ; pooler les comptes attendus inférieurs à 5