Linear motion under a variable force · Mouvement linéaire sous une force variable
| English | Français |
|---|---|
| drag/dræɡ/ | traînée |
| position/pəˈzɪʃn/ | position |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | règle de composition |
| separable/ˈsepərəbl/ | séparable |
| separate/ˈseprət/ | séparer |
| integrate/ˈɪntɪɡreɪt/ | intégrez |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | condition aux limites |
When the force keeps changing
- Gravity near Earth is roughly constant — but the pull of a planet, the drag 阻力 on a car, or a magnetic force all change with position 位置.
- A force that depends on where you are needs a cleverer form of Newton's law.
Quand la force change continuellement
- La gravité près de la Terre est approximativement constante — mais la traction d'une planète, la traînée 阻力 sur une voiture ou une force magnétique changent selon la position 位置.
- Une force qui dépend de votre emplacement nécessite une forme plus ingénieuse de la loi de Newton.
Acceleration as a function of position
- When the force (and so the acceleration) depends on position $x$, rewrite acceleration as:
- This comes from the chain rule 链式法则: $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$.
When force varies with position, the work done is the area under the F–x graph
Accélération en fonction de la position
- Lorsque la force (et donc l'accélération) dépend de la position $x$, réécrivez l'accélération comme :
- Cela vient de la règle de la chaîne 链式法则 : $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$.
Lorsque la force varie selon la position, le travail effectué est l'aire sous le graphique F–x
Work from a variable force · Travail d'une force variable
W = ∫ F dx
When the force changes, the work done is the area · aire under the force–distance graph. · Lorsque la force change, le travail effectué est l'aire sous la courbe force-distance.
When a force depends on position x, acceleration is best written as: · Lorsqu'une force dépend de la position x, l'accélération s'écrit le mieux ainsi :
a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx — convenient when force depends on x. · a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx — pratique lorsque la force dépend de x.
The identity a = v dv/dx comes from the ______ rule. · L'identité a = v dv/dx provient de la règle de ______.
dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx by the chain rule. · dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx par la règle de la chaîne.
Turning F = ma into a differential equation
- Substituting gives $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ — a separable 可分离 differential equation linking $v$ and $x$.
- Separate 分离 the variables ($v\,dv$ on one side, $x$ on the other) and integrate 积分.
When to use which form. Force depends on time → use $a = \dfrac{dv}{dt}$. Force depends on position → use $a = v\dfrac{dv}{dx}$. Choosing the right one is half the battle.
Transformer F = ma en équation différentielle
- La substitution donne $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ — une équation différentielle séparable 可分离 reliant $v$ et $x$.
- Séparez 分离 les variables ($v\,dv$ d'un côté, $x$ de l'autre) et intégrez 积分.
Quand utiliser quelle forme. Force dépendant du temps → utilisez $a = \dfrac{dv}{dt}$. Force dépendant de la position → utilisez $a = v\dfrac{dv}{dx}$. Choisir le bon est déjà la moitié de la bataille.
Substituting a = v dv/dx into F = ma gives a separable differential equation in v and x. · En substituant a = v dv/dx dans F = ma, on obtient une équation différentielle séparable en v et x.
F(x) = mv dv/dx separates into v dv and an x-expression, then integrate. · F(x) = mv dv/dx se sépare en v dv et une expression en x, puis on intègre.
If instead the force depends on time t, the natural form for acceleration is: · Si la force dépend du temps t, la forme naturelle pour l'accélération est :
Time-dependent force → a = dv/dt; position-dependent → a = v dv/dx. · Force dépendant du temps → a = dv/dt ; dépendant de la position → a = v dv/dx.
The method
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- Write $F = ma$ with $a = v\dfrac{dv}{dx}$.
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- Separate: gather $v$ terms with $dv$, $x$ terms with $dx$.
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- Integrate both sides, then apply the boundary conditions 边界条件 to find $v$ as a function of $x$.
- When the force depends on position, treat it as a variable force with $a=v\,dv/dx$.
La méthode
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- Écrivez $F = ma$ avec $a = v\dfrac{dv}{dx}$.
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- Séparez : regroupez les termes $v$ avec $dv$, les termes $x$ avec $dx$.
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- Intégrez les deux côtés, puis appliquez les conditions aux limites 边界条件 pour trouver $v$ en fonction de $x$.
- Lorsque la force dépend de la position, traitez-la comme une force variable avec $a=v\,dv/dx$.
Put the steps for solving motion under a position-dependent force in order. · Mettez les étapes pour résoudre le mouvement sous une force dépendant de la position dans l'ordre.
Set up with v dv/dx, separate, integrate, then use the conditions to fix the constant. · Mettez en place avec v dv/dx, séparez, intégrez, puis utilisez les conditions pour fixer la constante.
You've got it
- for a position-dependent force, use $a = v\dfrac{dv}{dx}$ (from the chain rule)
- this makes $F = ma$ a separable differential equation in $v$ and $x$
- separate and integrate to find $v$ as a function of $x$
Vous avez compris
- pour une force dépendant de la position, utilisez $a = v\dfrac{dv}{dx}$ (issu de la règle de la chaîne)
- cela transforme $F = ma$ en une équation différentielle séparable en $v$ et $x$
- séparez et intégrez pour trouver $v$ en fonction de $x$