Sequences · Secuencias
| English | Español |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | secuencia |
| term-to-term rule/tɜːm tə tɜːm ruːl/ | regla término a término |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | diferencia común |
| nth term/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm/ | término enésimo |
| quadratic sequence/kwɒˈdrætɪk ˈsiːkwəns/ | secuencia cuadrática |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | secuencia geométrica |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | razón común |
Predicting the future
- A sunflower adds a ring of petals following the Fibonacci pattern: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
- Sequences 数列 are patterns in numbers. Once you know the rule, you can predict any term — even the millionth.
Predecir el futuro
- Una girasol añade un anillo de pétalos siguiendo el patrón de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
- Las secuencias son patrones en números. Una vez que conoce la regla, puede predecir cualquier término —incluso el millónimo.
Term-to-term rule 递推规则
- The simplest sequences add (or subtract) a fixed amount each time: $2, 5, 8, 11, \dots$ goes up by $3$.
- This is the term-to-term rule (the common difference 公差).
Romanesco broccoli: self-similar spirals form a natural number pattern
Regla de término a término
- Las secuencias más simples suman (o restan) una cantidad fija cada vez: $2, 5, 8, 11, \dots$ aumenta en $3$.
- Esta es la regla de término a término (la diferencia común).
Brócoli Romanesco: espirales autosimilares forman un patrón numérico natural
Sequences · Secuencias
uₙ = a + (n − 1)d
An arithmetic sequence adds the same step each time; the sum · suma grows steadily. · Una secuencia aritmética suma el mismo paso cada vez; la suma crece de forma constante.
The nth term 通项 (position-to-term rule)
- For a linear sequence (constant difference $d$), the nth term is $dn + c$.
- $2, 5, 8, 11, \dots$: difference $d = 3$, first term $= 2$, so $3n - 1$.
- Check: $n=1 \Rightarrow 3(1)-1 = 2$ ✓; $\;n=4 \Rightarrow 3(4)-1 = 11$ ✓.
Finding c. The sequence starts at $2$ when $n=1$: $3(1) + c = 2 \Rightarrow c = -1$. So the nth term is $3n - 1$.
El n-ésimo término (regla de posición a término)
- Para una secuencia lineal (diferencia constante $d$), el término n-ésimo es $dn + c$.
- $2, 5, 8, 11, \dots$: diferencia $d = 3$, primer término $= 2$, por lo tanto $3n - 1$.
- Verificación: $n=1 \Rightarrow 3(1)-1 = 2$ ✓; $\;n=4 \Rightarrow 3(4)-1 = 11$ ✓.
Encontrar c. La secuencia comienza en $2$ cuando $n=1$: $3(1) + c = 2 \Rightarrow c = -1$. Así, el término n-ésimo es $3n - 1$.
The nth term of 2, 5, 8, 11, … is 3n − 1. What is the 10th term? · El término n-ésimo de 2, 5, 8, 11, … es 3n − 1. ¿Cuál es el término 10?
3 × 10 − 1 = 30 − 1 = 29.
For a linear sequence going up by 3 each time, the nth term contains: · Para una secuencia lineal que aumenta en 3 cada vez, el término n-ésimo contiene:
A constant difference of 3 means the nth term is 3n adjusted by a constant. · Una diferencia constante de 3 significa que el término n-ésimo es 3n ajustado por una constante.
The nth term of 4, 7, 10, 13, … is 3n + ______. · El término n-ésimo de 4, 7, 10, 13, … es 3n + ______.
3(1) + c = 4 → c = 1. The nth term is 3n + 1. · 3(1) + c = 4 → c = 1. El término n-ésimo es 3n + 1.
Simple quadratic sequences 二次数列
- When the first differences change but the second differences are constant, it's a quadratic sequence.
- $2, 5, 10, 17, \dots$: first differences $3, 5, 7$; second differences $2, 2$.
- The $n^2$ coefficient is half the second difference: $\dfrac{2}{2} = 1$, so the $n^2$ term is $n^2$.
- Adjust: $n^2 + 1$ gives $2, 5, 10, 17$. ✓
Number lines show patterns too: in a quadratic sequence, the gaps between terms grow steadily.
Half the second difference. The $n^2$ coefficient is $\dfrac{\text{second difference}}{2}$, not the second difference itself. For $2, 5, 10, 17$ the second difference is $2$, giving $n^2$ (not $2n^2$).
Secuencias cuadráticas simples
- Cuando las primeras diferencias cambian pero las segundas diferencias son constantes, se trata de una secuencia cuadrática.
- $2, 5, 10, 17, \dots$: primeras diferencias $3, 5, 7$; segundas diferencias $2, 2$.
- El coeficiente de $n^2$ es la mitad de la segunda diferencia: $\dfrac{2}{2} = 1$, por lo tanto el término $n^2$ es $n^2$.
- Ajuste: $n^2 + 1$ produce $2, 5, 10, 17$. ✓
Líneas numéricas también muestran patrones: en una secuencia cuadrática, las brechas entre términos crecen constantemente.
La mitad de la segunda diferencia. El coeficiente de $n^2$ es $\dfrac{\text{second difference}}{2}$, no la segunda diferencia misma. Para $2, 5, 10, 17$ la segunda diferencia es $2$, lo que da $n^2$ (no $2n^2$).
The nth term of 2, 5, 10, 17, … is n² + 1. What is the 5th term? · El término n-ésimo de 2, 5, 10, 17, … es n² + 1. ¿Cuál es el término 5?
5² + 1 = 25 + 1 = 26.
In a quadratic sequence, the second differences are constant. · En una secuencia cuadrática, las segundas diferencias son constantes.
The first differences change steadily, but the second differences (differences of differences) are constant. · Las primeras diferencias cambian constantemente, pero las segundas diferencias (diferencias de diferencias) son constantes.
Geometric sequences 等比数列
- Each term is multiplied by a fixed ratio: $3, 6, 12, 24, \dots$ (multiply by 2 each time).
- The nth term is $a \times r^{n-1}$, where $a$ is the first term and $r$ is the common ratio 公比.
- $3 \times 2^{n-1}$: $\;n=1 \Rightarrow 3$, $\;n=4 \Rightarrow 3 \times 8 = 24$. ✓
Secuencias geométricas
- Cada término se multiplica por una razón fija: $3, 6, 12, 24, \dots$ (multiplicar por 2 cada vez).
- El término n-ésimo es $a \times r^{n-1}$, donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón común.
- $3 \times 2^{n-1}$: $\;n=1 \Rightarrow 3$, $\;n=4 \Rightarrow 3 \times 8 = 24$. ✓
The nth term of 3, 6, 12, 24, … is 3 × 2^(n−1). What is the 6th term? · El término n-ésimo de 3, 6, 12, 24, … es 3 × 2^(n−1). ¿Cuál es el término 6?
3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.
Find the fifth term of uₙ = n³ + 2. · Encontrar el quinto término de uₙ = n³ + 2.
5³ + 2 = 125 + 2 = 127.
Cubes and a term-number check
- Core includes simple cubic sequences. $3,10,29,66$ are 2 more than $1^3,2^3,3^3,4^3$, so $u_n=n^3+2$. The fifth term is $u_5=125+2=127$.
- For $u_n=4n+3$, testing whether 100 is a term gives $4n+3=100$, so $n=24.25$. A term number must be a positive integer, so 100 is not in this sequence.
Cubos y verificación del número de término
- El núcleo incluye secuencias cúbicas simples. $3,10,29,66$ son 2 más que $1^3,2^3,3^3,4^3$, por lo tanto $u_n=n^3+2$. El quinto término es $u_5=125+2=127$.
- Para $u_n=4n+3$, probar si 100 es un término da $4n+3=100$, por lo tanto $n=24.25$. Un número de término debe ser un entero positivo, así que 100 no está en esta secuencia.
You've got it
- linear sequence: nth term $= dn + c$ (constant difference $d$) → $2,5,8,11 \to 3n-1$
- simple quadratic: second difference $= 2 \times$ the $n^2$ coefficient → $2,5,10,17 \to n^2 + 1$
- geometric: nth term $= a \times r^{n-1}$ (constant ratio $r$) → $3,6,12,24 \to 3 \times 2^{n-1}$
Lo has entendido
- Secuencia lineal: término n-ésimo $= dn + c$ (diferencia constante $d$) → $2,5,8,11 \to 3n-1$
- cuadrática simple: segunda diferencia $= 2 \times$ el coeficiente $n^2$ → $2,5,10,17 \to n^2 + 1$
- Geométrica: término n-ésimo $= a \times r^{n-1}$ (razón constante $r$) → $3,6,12,24 \to 3 \times 2^{n-1}$