Bases del álgebra y manipulación
| English | Español |
|---|---|
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | álgebra |
| variable/ˈveərɪəbl/ | variable |
| substitute/ˈsʌbstɪtjuːt/ | sustituir |
| like terms/laɪk tɜːmz/ | términos semejantes |
| expanding/ekˈspændɪŋ/ | expansiva |
| factorising/ˈfæktəraɪzɪŋ/ | factorización |
| difference of two squares/ˈdɪfrəns ɒv tuː skweəz/ | diferencia de dos cuadrados |
El lenguaje de lo desconocido
- Al-Khwarizmi, un matemático persa del siglo 9, escribió el primer libro sobre "al-jabr" — restauración y equilibrio. De ahí proviene la palabra "álgebra".
- Él usaba palabras en lugar de letras. Nosotros usamos letras porque son más rápidas — y porque una sola letra puede representar cualquier número.
Ruta de manipulación algebraica
Seguir el trabajo con expresiones desde la agrupación de términos hasta la resolución.
Variables y sustitución
- Una variable es una letra que representa un número. Su valor puede cambiar.
- Sustituir significa reemplazar una letra por un número específico.
- Ejemplo: $3x^2 - 2y$ con $x = 4$, $y = 5$: $\;3(4)^2 - 2(5) = 48 - 10 = 38$.
Elevar al cuadrado primero, luego multiplicar. $3x^2$ cuando $x = 4$ es $3 \times 16 = 48$, no $(3 \times 4)^2 = 144$. Los exponentes se aplican solo a la letra inmediatamente anterior a ellos.
Reuniendo términos semejantes: sumar términos con la misma letra
Encontrar el valor de 3x² − 2y cuando x = 4 y y = 5.
3 × 4² − 2 × 5 = 3 × 16 − 10 = 48 − 10 = 38.
Agrupando términos semejantes
- Los términos semejantes tienen las mismas letra(s) elevada(s) a la(s) misma(s) potencia(s).
- $2a^2 + 5a^2 = 7a^2$ (misma letra, misma potencia — se reúnen).
- $3x + 2y$ no se puede simplificar — letras diferentes.
Simplificar 2a² + 5a² + 3a − a. ¿Cuál es el coeficiente de a²?
2a² + 5a² = 7a²; 3a − a = 2a. El coeficiente de a² es 7.
Expandiendo paréntesis
- Paréntesis simple: $3(2x + 5) = 6x + 15$.
- Doble paréntesis (FOIL): $(2x + 1)(x - 4) = 2x^2 - 8x + x - 4 = 2x^2 - 7x - 4$.
Verificación rápida. $(x + 3)(x + 5) = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$. El término independiente es $3 \times 5 = 15$.
Expandir (2x + 1)(x − 4) = 2x² + bx + c. ¿Cuál es el término constante c?
(2x+1)(x−4) = 2x² − 8x + x − 4 = 2x² − 7x − 4, por lo tanto c = −4.
(x + 3)(x + 5) = x² + 8x + 15.
x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15. ✓
Factorización
- Factorizar es lo opuesto a expandir — escribir como un producto.
- Factor común: $9x^2 + 15xy = 3x(3x + 5y)$.
- Factorización cuadrática extendida: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$.
- Diferencia de dos cuadrados extendida: $9x^2 - 16 = (3x + 4)(3x - 4)$.
Factorizar una diferencia de dos cuadrados ($a^2 - b^2$) es como comparar dos áreas cuadradas.
Factorizar la diferencia de dos cuadrados 9x² − 16.
a² − b² = (a+b)(a−b), con a = 3x, b = 4.
Emparejar cada expresión con su factorización.
x²+7x+10: factores de 10 que suman 7 son 2 y 5. x²−9 = x²−3². 6x+9: MCD es 3. x²+4x+4 es un trinomio cuadrado perfecto.
Lo has entendido
- sustituir números por letras; reunir términos semejantes
- expandir = multiplicar los paréntesis; factorizar = escribir como un producto
- (Extendido) $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ — la diferencia de dos cuadrados