Integration · Integración
| English | Español |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | integración |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | integral definida |
| fundamental theorem of calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | teorema fundamental del cálculo |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | constante de integración |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | integración por sustitución |
Signed accumulation can cancel
- Integration 积分 can recover an antiderivative or calculate signed accumulation. A definite integral is not automatically a nonnegative geometric area.
- For a continuous integrand, the fundamental theorem of calculus 微积分基本定理 connects a definite integral to an antiderivative evaluated at its bounds.
La acumulación signada puede cancelarse
- La integración puede recuperar una antiderivada o calcular acumulación signada. Una integral definida no es automáticamente un área geométrica no negativa.
- Para un integrando continuo, el teorema fundamental del cálculo conecta una integral definida con una antiderivada evaluada en sus límites.
Keep the antiderivative family
- An indefinite integral needs a constant of integration 积分常数 because differentiating any constant gives zero. The power formula is $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ for $n\ne-1$ on a valid domain.
- The reciprocal exception is $\int1/x\,dx=\ln|x|+C$ on an interval not crossing zero. A positive or negative domain needs attention before choosing a logarithm expression.
Mantener la familia de primitivas
- Una integral indefinida necesita una constante de integración porque derivar cualquier constante da cero. La fórmula de la potencia es $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ para $n\ne-1$ en un dominio válido.
- La excepción recíproca es $\int1/x\,dx=\ln|x|+C$ en un intervalo que no cruza cero. Un dominio positivo o negativo requiere atención antes de elegir una expresión logarítmica.
Integrate x³ with respect to x. Include the constant. · Integra x³ con respecto a x. Incluye la constante.
Add one to the power and divide by the new power, then add c because any constant differentiates to zero. · Suma uno al exponente y divide por el nuevo exponente, luego añade c porque cualquier constante se deriva a cero.
A definite integral needs a constant of integration. · Una integral definida necesita una constante de integración.
The constant cancels in F(b) − F(a). Only an indefinite integral needs it — and there it is compulsory. · La constante se cancela en F(b) − F(a). Solo una integral indefinida la necesita —y allí es obligatoria.
In one English sentence, explain why an indefinite integral needs "+ c". · En una oración en inglés, explica por qué una integral indefinida necesita "+ c".
Example: "Any constant differentiates to zero, so the original constant cannot be recovered from the derivative." · Ejemplo: "Cualquier constante se deriva a cero, por lo que la constante original no puede recuperarse a partir de la derivada."
Evaluate upper minus lower
- A definite integral 定积分 gives $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ when the antiderivative method applies. Substitute both bounds into the same F.
- C cancels between those evaluations. For geometric area, split where the curve changes sign or where upper and lower curves exchange order.
Evaluar superior menos inferior
- Una integral definida da $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ cuando se aplica el método de antiderivada. Sustituye ambos límites en la misma F.
- C se cancela entre esas evaluaciones. Para área geométrica, dividir donde la curva cambia de signo o donde las curvas superior e inferior intercambian orden.
The area under the curve · El área bajo la curva
$\int_a^b f(x)\,dx$
A definite integral is the signed area between the curve and the axis. · Una integral definida es el área signada entre la curva y el eje.
Evaluate the integral of x² from 0 to 3. · Evalúa la integral de x² desde 0 hasta 3.
[x³/3] from 0 to 3 = 27/3 − 0 = 9. · [x³/3] desde 0 hasta 3 = 27/3 − 0 = 9.
Zero integral, positive area. For $y=x$ from negative 1 to 1, $I=[x^2/2]_{-1}^1=0$. Geometric area is $A=-\int_{-1}^0x\,dx+\int_0^1x\,dx=1$. Each triangular region has area one half; their signed contributions cancel.
Integral cero, área positiva. Para $y=x$ de -1 a 1, $I=[x^2/2]_{-1}^1=0$. El área geométrica es $A=-\int_{-1}^0x\,dx+\int_0^1x\,dx=1$. Cada región triangular tiene área medio; sus contribuciones signadas se cancelan.
Substitute both the function and differential
- Integration by substitution 换元积分法 reverses the chain rule. With $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$, so $\int2x(x^2+1)^5dx=\int u^5du$.
- For a definite integral, transform its bounds to u or return to x before evaluating original bounds. Do not combine u expressions with x bounds.
Sustituir tanto la función como el diferencial
- La integración por sustitución invierte la regla de la cadena. Con $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$, así que $\int2x(x^2+1)^5dx=\int u^5du$.
- Para una integral definida, transformar sus límites a u o volver a x antes de evaluar los límites originales. No combinar expresiones de u con límites de x.
Which substitution simplifies the integral of 2x(x² + 1)⁵? · ¿Qué sustitución simplifica la integral de 2x(x² + 1)⁵?
Its derivative 2x is already present, so du = 2x dx and the integral becomes u⁵ du. · Su derivada 2x ya está presente, así que du = 2x dx y la integral se convierte en u⁵ du.
Differentiate an antiderivative to check it. Also check the domain, integration constant and bounds; differentiation alone does not prove that a definite integral or geometric area was evaluated correctly. Sheet 3.2 uses velocity to distinguish displacement, total distance and final position.
Derivar una primitiva para verificarla. También revisar dominio, constante de integración y límites; la derivación sola no prueba que una integral definida o área geométrica se evaluó correctamente. La hoja 3.2 usa velocidad para distinguir desplazamiento, distancia total y posición final.
How do you check an integration answer reliably? · ¿Cómo verificas confiablemente una respuesta de integración?
Differentiate a proposed antiderivative and compare it with the original integrand on its domain. Also check the constant, bounds and sign or geometric-area interpretation; differentiation alone does not validate those steps. · Diferencie una antiderivada propuesta y compárela con el integrando original en su dominio. También revise la constante, los límites y el signo o interpretación de área geométrica; la diferenciación sola no valida esos pasos.
An antiderivative valid on an interval cannot automatically justify evaluating across a singularity. Check the integrand's domain before applying upper-minus-lower. An initial position must be added when an integral gives only a displacement.
Una primitiva válida en un intervalo no justifica automáticamente evaluar a través de una singularidad. Revisar el dominio del integrando antes de aplicar superior menos inferior. Debe añadirse una posición inicial cuando una integral da solo desplazamiento.