Lines, curves and coordinates · Líneas, curvas y coordenadas
| English | Español |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | pendiente |
| y-intercept/waɪ ˌɪntəˈsept/ | intersección con el eje y |
| parallel/ˈpærəlel/ | paralelo |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | perpendiculares |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | punto medio |
| distance/ˈdɪstəns/ | distancia |
| roots/ruːts/ | raíces |
| parabola/pəˈræbələ/ | parábola |
| vertex/ˈvɜːteks/ | vértice |
| graphically/ˈɡræfɪkli/ | gráficamente |
Connect a rule with a graph
- Coordinates let you test where a line or curve passes. A picture suggests relationships; algebra checks exact values.
- Label axes and relevant points when sketching. A graph's scale affects what can be read accurately from it.
Conectar una regla con una gráfica
- Las coordenadas le permiten probar dónde pasa una línea o curva. Una imagen sugiere relaciones; el álgebra verifica valores exactos.
- Etiquete ejes y puntos relevantes al bosquejar. La escala de una gráfica afecta lo que se puede leer con precisión de ella.
State which lines have a gradient
- In $y=mx+c$, m is the gradient 斜率 and c the y-intercept y 轴截距. For a nonvertical line, $m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$.
- Distinct nonvertical parallel 平行 lines have equal gradients; nonvertical perpendicular 垂直 lines have gradient product negative 1. Vertical lines have undefined gradient and are perpendicular to horizontal lines.
Indicar qué líneas tienen pendiente
- En $y=mx+c$, m es la pendiente y c la ordenada al origen y. Para una línea no vertical, $m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$.
- Líneas paralelas distintas no verticales tienen pendientes iguales; líneas perpendiculares no verticales tienen producto de pendientes -1. Las líneas verticales tienen pendiente indefinida y son perpendiculares a las líneas horizontales.
Change the gradient and the intercept · Cambia la pendiente y la intersección
$y = mx + c$
See what m and c each control before you calculate them. · Observa qué controlan m y c antes de calcularlas.
Find the gradient of the line through (2, 1) and (6, 9). · Encuentra la pendiente de la línea que pasa por (2, 1) y (6, 9).
Rise over run: (9 − 1) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2. · Elevación sobre avance: (9 − 1) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2.
That line is y = 2x + c. Find c. · Esa línea es y = 2x + c. Encuentra c.
Substitute (2, 1): 1 = 4 + c, so c = −3. Check with (6, 9): 2(6) − 3 = 9 ✓. · Sustituye (2, 1): 1 = 4 + c, luego c = −3. Verifica con (6, 9): 2(6) − 3 = 9 ✓.
Which gradient is perpendicular to a line of gradient 4? · ¿Cuál pendiente es perpendicular a una línea de pendiente 4?
The gradients must multiply to −1, and 4 × (−1/4) = −1. · Las pendientes deben multiplicarse para dar −1, y 4 × (−1/4) = −1.
Measure segments using coordinates
- The midpoint 中点 averages each coordinate: $M=((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)$.
- The distance 距离 is $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. A perpendicular bisector passes through the midpoint at a right angle to the segment.
Medir segmentos usando coordenadas
- El punto medio promedia cada coordenada: $M=((x_1+x_2)/2,(y_1+y_2)/2)$.
- La distancia es $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Una mediatriz pasa por el punto medio en ángulo recto respecto al segmento.
Find the distance between (1, 2) and (4, 6). · Encuentra la distancia entre (1, 2) y (4, 6).
Differences 3 and 4, so d = √(9 + 16) = √25 = 5 — the 3-4-5 triangle. · Diferencias 3 y 4, así que d = √(9 + 16) = √25 = 5 — el triángulo 3-4-5.
Roots can cross or touch
- A quadratic graph is a parabola 抛物线; its vertex 顶点 is the turning point. Real roots 根 are x-values where it meets the x-axis, including a repeated root that touches.
- To solve graphically 用图像求解, read intersections of the relevant graphs. Equate their expressions to check exact coordinates and distinguish a strict inequality from equality at an endpoint.
Las raíces pueden cruzar o tocar
- Una gráfica cuadrática es una parábola; su vértice es el punto de giro. Las raíces reales son valores de x donde cruza el eje x, incluyendo una raíz doble que toca.
- Para resolver gráficamente, lea las intersecciones de las gráficas relevantes. Iguale sus expresiones para verificar coordenadas exactas y distinguir una desigualdad estricta de igualdad en un extremo.
What are the roots of a quadratic, geometrically? · ¿Qué son las raíces de una ecuación cuadrática geométricamente?
A real root satisfies y = 0. The graph can cross the x-axis or touch it at a repeated root. · Una raíz real satisface y = 0. La gráfica puede cruzar el eje x o tocarlo en una raíz repetida.
Put the steps of finding a line through two points in order. · Ordena los pasos para encontrar una línea que pase por dos puntos.
Checking with the unused point is the step that catches an arithmetic slip. · Verificar con el punto no utilizado es el paso que detecta un error aritmético.
Find a line from two points. For $(2,1)$ and $(6,9)$, $m=(9-1)/(6-2)=2$. In $y=mx+c$, $c=y-mx=1-2(2)=-3$. Thus $y=2x-3$; substituting the other point gives 9 as required.
Encuentre una línea a partir de dos puntos. Para $(2,1)$ y $(6,9)$, $m=(9-1)/(6-2)=2$. En $y=mx+c$, $c=y-mx=1-2(2)=-3$. Así $y=2x-3$; sustituyendo el otro punto da 9 como se requiere.
Find both coordinates of an intersection. The equations $y=x+1$ and $y=x^2-3x+1$ give $x(x-4)=0$. Substitution gives $(0,1)$ and $(4,5)$, not just two x-values. Sheet 1.3 also asks for a labelled quadratic sketch.
Encuentre ambas coordenadas de una intersección. Las ecuaciones $y=x+1$ y $y=x^2-3x+1$ dan $x(x-4)=0$. La sustitución da $(0,1)$ y $(4,5)$, no solo dos valores de x. La hoja 1.3 también pide un bosquejo de parábola etiquetado.
Equal gradients alone do not distinguish identical from distinct parallel lines. The negative-reciprocal test does not cover a vertical line. Check the equation form before applying a rule.
Las pendientes iguales solas no distinguen líneas paralelas idénticas de distintas. La prueba de recíproco negativo no cubre una línea vertical. Verifique la forma de la ecuación antes de aplicar una regla.