Setting Up a Test for the Slope · Configuración de una Prueba para la Pendiente
The slope hypotheses
- A test about a slope asks whether there's a real linear relationship.
- Null $H_0: \beta = 0$ — the slope is zero.
- Alternative $H_a$: $\beta \ne 0$ (some relationship), or one-sided $\beta > 0$ / $\beta < 0$.
- The default $H_0$ is almost always "$\beta = 0$."
Las hipótesis sobre la pendiente
- Una prueba sobre una pendiente pregunta si existe una relación lineal real.
- Nula $H_0: \beta = 0$ — la pendiente es cero.
- Alternativa $H_a$: $\beta \ne 0$ (alguna relación), o unidireccional $\beta > 0$ / $\beta < 0$.
- El valor por defecto de $H_0$ es casi siempre "$\beta = 0$."
Why β = 0 means "no relationship"
- If the true slope $\beta = 0$, the regression line is flat.
- A flat line predicts the same $y$ no matter what $x$ is → $x$ tells you nothing.
- So $\beta = 0$ is exactly "no linear relationship."
- Rejecting $H_0$ means the data support a real linear link.
Por qué β = 0 significa "sin relación"
- Si la pendiente verdadera $\beta = 0$, la línea de regresión es horizontal.
- Una línea horizontal predice el mismo $y$ sin importar lo que sea $x$ → $x$ no te dice nada.
- Así $\beta = 0$ es exactamente "sin relación lineal."
- Rechazar $H_0$ significa que los datos apoyan un vínculo lineal real.
Verify the conditions
- Check the same LINER conditions as for the interval:
- Linear, Independent, Normal, Equal SD, Random.
- Use residual plots for the linear / normal / equal-SD parts.
- Only then is the $t$-model for the slope valid.
Verificar las condiciones
- Comprobar las mismas condiciones de LINER que para el intervalo:
- Linealidad, Independencia, Normalidad, Equaldad de la DE, Randomicidad.
- Utilizar gráficos de residuos para las partes de linealidad / normalidad / igualdad de la DE.
- Solo entonces es válido el modelo de pendiente de $t$.
The right test
- The procedure is a $t$-test for the slope, with $df = n - 2$.
- It's the regression counterpart of the one-mean $t$-test.
- The test statistic (next lesson) compares $b$ to $0$ in units of $SE_b$.
- Everything is read from the same computer output.
La prueba adecuada
- El procedimiento es una prueba de $t$ para la pendiente, con $df = n - 2$.
- Es la contraparte de regresión de la prueba $t$ de una media.
- La estadística de prueba (próxima lección) compara $b$ con $0$ en unidades de $SE_b$.
- Todo se lee del mismo informe generado por computadora.
The null is $\beta = 0$ (a flat line = no linear relationship), and the $df$ is $n - 2$. Don't test "$b = 0$" — $b$ is the sample estimate; the hypothesis is about the population slope $\beta$. And choose a one- or two-sided $H_a$ from the question before seeing the output.
La hipótesis nula es $\beta = 0$ (una línea plana = sin relación lineal), y la $df$ es $n - 2$. No pruebe "$b = 0$" — $b$ es la estimación muestral; la hipótesis se refiere a la pendiente de la población $\beta$. Y elija una prueba unilateral o bilateral $H_a$ según lo indicado en el enunciado antes de ver los resultados.
Does studying more relate to higher scores?
- $H_0: \beta = 0$ (no linear relationship between hours and score).
- $H_a: \beta > 0$ (more hours → higher scores) — a one-sided claim.
- Conditions checked, we'll run a $t$-test for the slope with $df = n - 2$.
¿Estudiar más se relaciona con mejores calificaciones?
- $H_0: \beta = 0$ (no hay una relación lineal entre las horas y la calificación).
- $H_a: \beta > 0$ (más horas → mejores calificaciones) — una afirmación unilateral.
- Se han verificado las condiciones; realizaremos una prueba $t$ para la pendiente con $df = n - 2$.
A slope test states $H_0: \beta = 0$ (no linear relationship) vs. a one- or two-sided $H_a$, using a $t$-test for the slope with $df = n - 2$ after checking the LINER conditions. A slope of $0$ means a flat line — $x$ gives no help predicting $y$.
Una prueba de pendiente establece $H_0: \beta = 0$ (sin relación lineal) frente a una alternativa unidireccional o bidireccional $H_a$, utilizando una prueba $t$-test para la pendiente con $df = n - 2$ después de verificar las condiciones LINER. Una pendiente de $0$ significa una línea plana — $x$ no ayuda a predecir $y$.
The null: a flat line (β = 0) · La nula: una línea plana (β = 0)
H0 says the true slope is 0 — no linear relationship. · H0 indica que la verdadera pendiente es 0 — no hay relación lineal.
The usual null hypothesis for a slope test is... · La hipótesis nula habitual para una prueba de pendiente es...
H0 is about the population slope β being 0. · H0 se refiere a que la pendiente poblacional β sea 0.
A true slope β = 0 means... · Una verdadera pendiente β = 0 significa...
Flat line → x doesn't help predict y. · Línea plana → x no ayuda a predecir y.
The slope t-test uses what degrees of freedom for n = 20? · La prueba t de la pendiente usa cuántos grados de libertad para n = 20?
df = n − 2 = 18. · gl = n − 2 = 18.
The hypotheses are about the population slope β, not the sample slope b. · Las hipótesis tratan sobre la pendiente poblacional β, no sobre la pendiente muestral b.
b is the estimate; β is the parameter tested. · b es la estimación; β es el parámetro probado.
Rejecting H0: β = 0 provides evidence that... · Rechazar H0: β = 0 proporciona evidencia de que...
Rejecting the flat-line null supports a real linear link. · Rechazar la nula de línea plana apoya un vínculo lineal real.