Carrying Out a Test for the Slope · Realización de una Prueba para la Pendiente
The test statistic
- The slope test statistic compares $b$ to $0$ in standard errors:
-
$$t = \frac{b}{SE_b}$$
- Both $b$ and $SE_b$ come straight from the computer output.
- Output often prints this $t$ (and its p-value) for you already.
La estadística de prueba
- La estadística de prueba para la pendiente compara $b$ con $0$ en términos de errores estándar:
-
$$t = \frac{b}{SE_b}$$
- Tanto $b$ como $SE_b$ provienen directamente de la salida del ordenador.
- La salida suele imprimir esto $t$ (y su valor p) para ti ya.
Find the p-value
- Use the $t$-distribution with $df = n - 2$.
- Two-sided $H_a$: the standard output p-value (already two-tailed).
- One-sided $H_a$: halve the reported two-sided p-value (if $b$ is in the claimed direction).
- The p-value is the chance of a slope this far from $0$ if $\beta$ were truly $0$.
Encuentra el valor p
- Usa la distribución $t$ con $df = n - 2$.
- Prueba de dos colas $H_a$: el valor p de salida estándar (ya de dos colas).
- Prueba de una cola $H_a$: divide por dos el valor p bidireccional reportado (si $b$ está en la dirección afirmada).
- El valor p es la probabilidad de obtener una pendiente tan alejada de $0$ si $\beta$ fuera realmente $0$.
Make a decision
- Compare the p-value to $\alpha$:
- p $\le \alpha$ → reject $H_0$: convincing evidence of a linear relationship.
- p $> \alpha$ → fail to reject: not convincing evidence.
- Standard decision rule.
Tomar una decisión
- Comparar el valor p con $\alpha$:
- p $\le \alpha$ → rechazar $H_0$: evidencia convincente de una relación lineal.
- p $> \alpha$ → no rechazar: evidencia no convincente.
- Regla de decisión estándar.
Conclude in context
- State it about the linear relationship between the real variables.
- "Convincing evidence of a positive linear relationship between hours and score" (if rejected).
- Or "not convincing evidence of a linear relationship" (if not).
- Failing to reject never proves $\beta = 0$.
Concluir en el contexto
- Exprésalo respecto a la relación lineal entre las variables reales.
- "Evidencia convincente de una relación lineal positiva entre horas y puntuación" (si se rechaza).
- O "evidencia no convincente de una relación lineal" (si no se rechaza).
- No rechazar nunca demuestra $\beta = 0$.
Computer output's p-value is two-sided — halve it for a one-sided $H_a$ (and only if the sample slope points the way $H_a$ claims). Use $df = n - 2$, and read $t = b/SE_b$ from the output rather than recomputing. As always, "fail to reject" means insufficient evidence, not proof of no relationship.
El valor p de la salida del software es bilateral: divídalo por dos para un ensayo unilateral $H_a$ (y solo si la pendiente de la muestra apunta en la dirección que $H_a$ indica). Utilice $df = n - 2$ y lea $t = b/SE_b$ directamente de la salida en lugar de recalcularlo. Como siempre, "no rechazar" significa evidencia insuficiente, no prueba de que no exista relación.
Output: $b = 4.2$, $SE_b = 1.0$; two-sided p-value $= 0.001$; $H_a: \beta > 0$, $\alpha = 0.05$.
- $t = \dfrac{4.2}{1.0} = 4.2$ ($df = n-2$).
- One-sided p-value: $0.001 / 2 = 0.0005$ ($b > 0$ matches $H_a$).
- Decide: $0.0005 \le 0.05$ → reject $H_0$; convincing evidence of a positive linear relationship.
valor-p bilateral $b = 4.2$; $SE_b = 1.0$; valor-p de dos colas $= 0.001$; $H_a: \beta > 0$, $\alpha = 0.05$.
- $t = \dfrac{4.2}{1.0} = 4.2$ ($df = n-2$).
- Valor p unilateral: $0.001 / 2 = 0.0005$ ($b > 0$ coincide con $H_a$).
- Decisión: $0.0005 \le 0.05$ → rechazar $H_0$; evidencia convincente de una relación lineal positiva.
Compute the slope $t = \frac{b}{SE_b}$ from the output, find the p-value at $df = n - 2$ (halve the two-sided output value for a one-sided $H_a$), and compare to $\alpha$: reject $H_0$ if p $\le \alpha$ (a linear relationship exists), else fail to reject — stated in context.
Calcule la pendiente $t = \frac{b}{SE_b}$ a partir de los resultados, encuentre el valor p en $df = n - 2$ (divida por dos el valor bilateral para una prueba unilateral $H_a$) y compárelo con $\alpha$: rechace $H_0$ si p $\le \alpha$ (existe una relación lineal), de lo contrario no rechace, expresado en el contexto.
Testing the fitted slope against zero · Prueba de la pendiente ajustada contra cero
t = b/SE_b measures how far the slope sits from 0. · t = b/SE_b mide qué tan lejos se encuentra la pendiente de 0.
b = 4.2, SE_b = 1.0. Compute the slope test statistic t = b/SE_b. · b = 4.2, SE_b = 1.0. Calcule el estadístico de prueba de la pendiente t = b/SE_b.
4.2 / 1.0 = 4.2.
A two-sided output p-value is 0.001. For a one-sided Ha (with b in the claimed direction), what is the p-value? · Una salida de dos colas reportó un valor p de 0.001. Para una Ha unilateral (con b en la dirección afirmada), ¿cuál es el valor p?
Halve the two-sided value: 0.001 / 2 = 0.0005. · Divida a la mitad el valor de dos colas: 0.001 / 2 = 0.0005.
With a p-value of 0.0005 and α = 0.05, the decision is... · Con un valor p de 0.0005 y α = 0.05, la decisión es...
0.0005 ≤ 0.05 → reject H0. · 0.0005 ≤ 0.05 → rechazar H0.
Computer regression output reports a two-sided p-value by default. · La salida de regresión por computadora reporta un valor p de dos colas por defecto.
Halve it for a one-sided alternative. · Divídalo a la mitad para una alternativa unilateral.
Rejecting H0: β = 0 lets you conclude... · Rechazar H0: β = 0 le permite concluir...
Reject the flat-line null → a real linear relationship. · Rechaza la hipótesis nula de línea plana → existe una verdadera relación lineal.