Sampling Distribution of x-bar · Distribución de muestreo de x-bar
| English | Español |
|---|---|
| sample mean/ˈsæmpl miːn/ | Media muestral |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | error estándar |
The distribution of x-bar
- A sample mean 样本均值 $\bar{x}$ estimates the true population mean $\mu$.
- Its sampling distribution is centered at $\mu$: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (so $\bar{x}$ is unbiased).
- Each sample gives a different $\bar{x}$; the spread shrinks with sample size.
- This is the workhorse statistic for inference about means.
La distribución de x-bar
- Una media muestral 样本均值 $\bar{x}$ estima la verdadera media poblacional $\mu$.
- Su distribución muestral está centrada en $\mu$: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (por lo tanto, $\bar{x}$ es insesgada).
- Cada muestra produce un $\bar{x}$ diferente; la dispersión disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
- Esta es la estadística fundamental para inferencias sobre las medias.
The standard deviation
- The standard deviation of $\bar{x}$ is:
-
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
- The population SD divided by $\sqrt{n}$ — often called the standard error.
- Quadruple $n$ and the spread only halves (because of the square root).
La desviación estándar
- La desviación estándar de $\bar{x}$ es:
-
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
- La desviación estándar poblacional dividida por $\sqrt{n}$ — conocida comúnmente como error estándar.
- Si se multiplica $n$ por cuatro, la dispersión solo se reduce a la mitad (debido a la raíz cuadrada).
Normality via the CLT
- Is $\bar{x}$ normal? Two ways to justify it:
- If the population is normal, $\bar{x}$ is exactly normal for any $n$.
- Otherwise, the Central Limit Theorem gives approximate normality when $n \ge 30$.
- Always state which justification your problem relies on.
Normalidad vía el TCL
- ¿Es $\bar{x}$ normal? Hay dos formas de justificarlo:
- Si la población es normal, $\bar{x}$ es exactamente normal para cualquier $n$.
- De lo contrario, el Teorema del Límite Central proporciona una aproximación a la normalidad cuando $n \ge 30$.
- Siempre indique cuál justificación depende su problema.
Conditions and probabilities
- Check the 10% condition ($n \le 0.10N$) when sampling without replacement.
- With normality justified, standardize: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
- Then find probabilities for $\bar{x}$ from the standard normal.
- This answers "how likely is a sample mean this far from $\mu$?"
Condiciones y probabilidades
- Verifique la condición del 10% ($n \le 0.10N$) al muestrear sin reemplazo.
- Con la normalidad justificada, estandarice: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
- Luego encuentre las probabilidades para $\bar{x}$ usando la normal estándar.
- Esto responde "¿qué tan probable es obtener una media muestral a esta distancia de $\mu$?".
Use $\sigma/\sqrt{n}$, not $\sigma$, for the spread of $\bar{x}$ — the sample mean varies far less than individual data values. A frequent error is dividing by $n$ instead of $\sqrt{n}$. And justify normality explicitly: either a normal population or the CLT with a large $n$ — don't assume $\bar{x}$ is normal for a small sample from a skewed population.
Use $\sigma/\sqrt{n}$, no $\sigma$, para la dispersión de $\bar{x}$ — la media muestral varía mucho menos que los valores individuales de datos. Un error frecuente es dividir por $n$ en lugar de $\sqrt{n}$. Además, justifique explícitamente la normalidad: ya sea una población normal o el Teorema del Límite Central con una $n$ grande — no asuma que $\bar{x}$ es normal para una muestra pequeña de una población sesgada.
Population mean $\mu = 100$, SD $\sigma = 20$; take $n = 25$.
- Center: $\mu_{\bar{x}} = 100$. SD: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{20}{\sqrt{25}} = \dfrac{20}{5} = 4$.
- $P(\bar{x} > 108)$: $z = \dfrac{108 - 100}{4} = 2$ → about $2.5\%$.
- So a sample mean above $108$ is fairly unlikely.
Media poblacional $\mu = 100$, desviación estándar $\sigma = 20$; tome $n = 25$.
- Centro: $\mu_{\bar{x}} = 100$. Desviación estándar: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{20}{\sqrt{25}} = \dfrac{20}{5} = 4$.
- $P(\bar{x} > 108)$: $z = \dfrac{108 - 100}{4} = 2$ → aproximadamente $2.5\%$.
- Por lo tanto, una media muestral superior a $108$ es poco probable.
The sample mean $\bar{x}$ has $\mu_{\bar{x}} = \mu$ and $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Justify a normal model either by a normal population or by the Central Limit Theorem ($n\ge 30$); check the 10% condition when sampling without replacement, then find probabilities via $z = \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
La media muestral $\bar{x}$ tiene $\mu_{\bar{x}} = \mu$ y $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Justifique un modelo normal ya sea mediante una población normal o mediante el Teorema del Límite Central ($n\ge 30$); verifique la condición del 10% al muestrear sin reemplazo, y luego encuentre las probabilidades mediante $z = \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
The sampling distribution of x-bar · La distribución de muestreo de x-bar
Centered at μ, spread σ/√n (the standard error). · Centrada en μ, dispersión σ/√n (el error estándar).
Population σ = 20, n = 25. Find the SD of x-bar, σ/√n. · Población σ = 20, n = 25. Encuentre la DS de x-bar, σ/√n.
20/√25 = 20/5 = 4.
With μ=100 and SD of x-bar = 4, find the z-score of x-bar = 108. · Con μ=100 y DS de x-bar = 4, encuentre el puntaje z de x-bar = 108.
z = (108 − 100)/4 = 2.
The standard deviation of the sample mean is... · La desviación estándar de la media muestral es...
Divide σ by √n — not by n. · Divida σ por √n — no por n.
If the population is already normal, x-bar is normal for any sample size n. · Si la población ya es normal, x-bar es normal para cualquier tamaño de muestra n.
A normal population gives an exactly normal x-bar at any n. · Una población normal produce una x-bar exactamente normal en cualquier n.
To make the sampling distribution of x-bar have half the spread, you should... · Para que la distribución de muestreo de x-bar tenga la mitad de la dispersión, usted debería...
Spread ∝ 1/√n, so 4× n halves the SD. · Dispersión ∝ 1/√n, por lo tanto 4× n reduce la DS a la mitad.