Sampling Distribution of p-hat · Distribución muestral de p-hat
| English | Español |
|---|---|
| sample proportion/ˈsæmpl prəˈpɔːʃn/ | Proporción muestral |
| large counts condition/lɑːdʒ kaʊnts kənˈdɪʃn/ | Condición de conteos grandes |
| 10% condition/ten pəˈsent kənˈdɪʃn/ | Condición del 10% |
The distribution of p-hat
- A sample proportion 样本比例 $\hat{p}$ estimates the true population proportion $p$.
- Its sampling distribution is centered at $p$: $\mu_{\hat{p}} = p$ (so $\hat{p}$ is unbiased).
- Different samples give different $\hat{p}$ — the spread is what we quantify next.
- Under the right conditions, this distribution is approximately normal.
La distribución de p-hat
- Una proporción muestral 样本比例 $\hat{p}$ estima la verdadera proporción poblacional $p$.
- Su distribución muestral está centrada en $p$: $\mu_{\hat{p}} = p$ (por lo tanto $\hat{p}$ es sin sesgo).
- Diferentes muestras dan diferentes $\hat{p}$ — la dispersión es lo que cuantificamos a continuación.
- Bajo las condiciones adecuadas, esta distribución es aproximadamente normal.
Its standard deviation
- The standard deviation of $\hat{p}$ is:
-
$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
- Bigger $n$ → smaller spread → a more precise estimate (the $\sqrt{n}$ in the bottom).
- This measures the typical distance of $\hat{p}$ from the true $p$.
Su desviación estándar
- La desviación estándar de $\hat{p}$ es:
-
$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
- Mayor $n$ → menor dispersión → una estimación más precisa (el $\sqrt{n}$ en el denominador).
- Esto mide la distancia típica de $\hat{p}$ a la verdadera $p$.
The large counts condition
- To use a normal model for $\hat{p}$, check the large counts condition 大计数条件:
-
$$np \ge 10 \quad\text{and}\quad n(1-p) \ge 10$$
- In words: expect at least $10$ successes and at least $10$ failures.
- If either count is under $10$, the sampling distribution is too skewed for the normal model.
La condición de grandes conteos
- Para usar un modelo normal para $\hat{p}$, verifique la condición de grandes conteos 大计数条件:
-
$$np \ge 10 \quad\text{and}\quad n(1-p) \ge 10$$
- En palabras: esperar al menos $10$ éxitos y al menos $10$ fracasos.
- Si cualquiera de los conteos es inferior a $10$, la distribución muestral está demasiado sesgada para el modelo normal.
The 10% condition
- When sampling without replacement, check the 10% condition 10%条件.
- The sample must be no more than $10\%$ of the population: $n \le 0.10 N$.
- This keeps the trials "close enough" to independent for the SD formula to hold.
- A small slice of a big population barely changes as you draw.
La condición del 10%
- Al muestrear sin reemplazo, verifique la condición del 10% 10%条件.
- La muestra debe ser no mayor al $10\%$ de la población: $n \le 0.10 N$.
- Esto mantiene los ensayos "suficientemente cerca" de la independencia para que se cumpla la fórmula de la DE.
- Un pequeño fragmento de una gran población apenas cambia a medida que se extrae.
Two different conditions do two different jobs. The large counts condition ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) justifies the normal shape; the 10% condition ($n\le0.10N$) justifies the independence behind the SD formula. Check both before modeling $\hat{p}$ as normal — skipping either invalidates the later inference.
Dos condiciones diferentes cumplen dos funciones distintas. La condición de grandes conteos ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) justifica la forma normal; la condición del 10% ($n\le0.10N$) justifica la independencia detrás de la fórmula de la DE. Verifique ambas antes de modelar $\hat{p}$ como normal — omitir cualquiera invalida la inferencia posterior.
$p = 0.4$ of a population supports a plan; you sample $n = 100$.
- Center: $\mu_{\hat{p}} = 0.4$. SD: $\sqrt{\dfrac{0.4 \times 0.6}{100}} = \sqrt{0.0024} \approx 0.049$.
- Large counts: $np = 40 \ge 10$ and $n(1-p) = 60 \ge 10$. ✓ Normal is OK.
- 10%: fine as long as the population exceeds $1000$.
$p = 0.4$ de una población respalda un plan; usted muestrea $n = 100$.
- Centro: $\mu_{\hat{p}} = 0.4$. DE: $\sqrt{\dfrac{0.4 \times 0.6}{100}} = \sqrt{0.0024} \approx 0.049$.
- Grandes conteos: $np = 40 \ge 10$ y $n(1-p) = 60 \ge 10$. ✓ Normal es aceptable.
- 10%: bien siempre que la población exceda $1000$.
The sample proportion $\hat{p}$ has $\mu_{\hat{p}} = p$ and $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Model it as normal when the large counts condition ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) holds; when sampling without replacement, also check the 10% condition ($n \le 0.10N$).
La proporción muestral $\hat{p}$ tiene $\mu_{\hat{p}} = p$ y $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Modeléela como normal cuando se cumpla la condición de conteos grandes ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$); al muestrear sin reemplazo, también verifique la condición del 10% ($n \le 0.10N$).
The sampling distribution of p-hat · La distribución muestral de p-hat
Centered at p, spread √(p(1−p)/n); normal under the large counts condition. · Centrada en p, dispersión √(p(1−p)/n); normal bajo la condición de cuentas grandes.
p = 0.4, n = 100. Find σ of p-hat = √(p(1−p)/n). Round to two decimals. · p = 0.4, n = 100. Encuentre σ de p-hat = √(p(1−p)/n). Redondee a dos decimales.
√(0.4·0.6/100) = √0.0024 ≈ 0.049 ≈ 0.05.
The large counts condition for a normal model of p-hat requires... · La condición de cuentas grandes para un modelo normal de p-hat requiere...
At least 10 expected successes AND 10 expected failures. · Al menos 10 éxitos esperados Y 10 fracasos esperados.
The mean of the sampling distribution of p-hat equals the true proportion p. · La media de la distribución muestral de p-hat es igual a la proporción verdadera p.
μ(p-hat) = p, so p-hat is unbiased. · μ(p-hat) = p, por lo que p-hat es insesgado.
When sampling without replacement, the 10% condition requires... · Cuando se muestrea sin reemplazo, la condición del 10% requiere...
The sample must be at most 10% of the population. · La muestra debe ser como máximo el 10% de la población.
Increasing n makes the standard deviation of p-hat smaller. · Aumentar n hace que la desviación estándar de p-hat sea menor.
n is under the square root, so larger n → smaller spread. · n está bajo la raíz cuadrada, por lo que mayor n → menor dispersión.