The Geometric Distribution · La Distribución Geométrica
| English | Español |
|---|---|
| geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/ | geométrica |
| geometric random variable/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | Variable aleatoria geométrica |
Waiting for the first success
- The geometric 几何 distribution counts trials until the first success.
- A geometric random variable 几何随机变量 $X$ = the number of trials to get the first success.
- Example: how many rolls until you get your first six?
- Unlike binomial, $n$ isn't fixed — you stop the moment you succeed.
Esperando el primer éxito
- La distribución geométrica cuenta las pruebas hasta el primer éxito.
- Una variable aleatoria geométrica $X$ = el número de pruebas necesarias para obtener el primer éxito.
- Ejemplo: ¿cuántos lanzamientos se necesitan hasta obtener un seis por primera vez?
- A diferencia de la binomial, $n$ no es fijo — se detiene en el momento exacto del éxito.
The geometric setting
- Same trial conditions as binomial, but a different stopping rule:
- Repeated independent trials, each with the same probability $p$ of success.
- You keep going until the first success, then stop.
- "Until first success" is the signal word for geometric.
El escenario geométrico
- Mismas condiciones de prueba que la binomial, pero con una regla de parada diferente:
- Pruebas independientes repetidas, cada una con la misma probabilidad $p$ de éxito.
- Se continúa hasta obtener el primer éxito, y luego se detiene.
- "Hasta el primer éxito" es la palabra clave que indica una distribución geométrica.
The geometric formula
-
$$P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p$$
- To succeed first on trial $k$: fail the first $k-1$ times, then succeed.
- $(1-p)^{k-1}$ = those failures; $p$ = the success on trial $k$.
- The probabilities shrink as $k$ grows — early success is most likely.
La fórmula geométrica
-
$$P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p$$
- Para tener éxito por primera vez en la prueba $k$: fallar las primeras $k-1$ veces y luego tener éxito.
- $(1-p)^{k-1}$ = esas fallas; $p$ = el éxito en la prueba $k$.
- Las probabilidades disminuyen a medida que crece $k$ — el éxito temprano es lo más probable.
The geometric mean
- The mean (expected number of trials) is:
-
$$\mu_X = \frac{1}{p}$$
- If $p = 0.2$, expect $1/0.2 = 5$ trials on average until the first success.
- Rarer successes ($small$p$) mean you wait longer — makes intuitive sense.
La media geométrica
- La media (número esperado de pruebas) es:
-
$$\mu_X = \frac{1}{p}$$
- Si $p = 0.2$, se esperan $1/0.2 = 5$ pruebas en promedio hasta el primer éxito.
- Los éxitos menos frecuentes ($small$ pequeña) implican esperar más tiempo — esto tiene sentido intuitivo.
Geometric vs. binomial comes down to the stopping rule. Binomial: fixed $n$, count successes. Geometric: run until the first success, count trials. If a problem fixes the number of tries, it's binomial; if it says "until the first…", it's geometric. And the geometric mean is $1/p$ — not $np$.
La diferencia entre geométrica y binomial radica en la regla de parada. Binomial: $n$ fija, contar éxitos. Geométrica: ejecutar hasta el primer éxito, contar pruebas. Si un problema fija el número de intentos, es binomial; si dice "hasta el primer...", es geométrica. Y la media geométrica es $1/p$ — no $np$.
Roll a die until the first six; $p = 1/6$.
- $P(X = 3) = (5/6)^2 (1/6) = \tfrac{25}{36}\cdot\tfrac{1}{6} \approx 0.116$ — first six on the $3$rd roll.
- Mean: $\mu_X = 1/(1/6) = 6$ rolls expected until the first six.
- Makes sense — a six comes up on average once every six rolls.
Lanzar un dado hasta obtener el primer seis; $p = 1/6$.
- $P(X = 3) = (5/6)^2 (1/6) = \tfrac{25}{36}\cdot\tfrac{1}{6} \approx 0.116$ — primer seis en el lanzamiento $3$.
- Media: $\mu_X = 1/(1/6) = 6$ lanzamientos esperados hasta el primer seis.
- Tiene sentido — un seis sale en promedio una vez cada seis lanzamientos.
A geometric random variable counts trials until the first success, with independent trials at constant $p$. Then $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ and the mean is $\mu_X = \frac{1}{p}$. The key contrast with binomial: geometric runs until the first success (variable trials), binomial has a fixed $n$.
Una variable aleatoria geométrica cuenta las pruebas hasta el primer éxito, con pruebas independientes a $p$ constante. Entonces $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ y la media es $\mu_X = \frac{1}{p}$. El contraste clave con la binomial: la geométrica ejecuta hasta el primer éxito (pruebas variables), mientras que la binomial tiene un $n$ fijo.
Rolling until the first success · Lanzar hasta el primer éxito
Keep rolling until the target appears — that's a geometric count. · Continuar lanzando hasta que aparezca el objetivo: ese es un conteo geométrico.
A geometric variable has p = 0.2. Find the mean number of trials, 1/p. · Una variable geométrica tiene p = 0.2. Encuentre el número medio de ensayos, 1/p.
μ = 1/p = 1/0.2 = 5.
Which situation is geometric (not binomial)? · ¿Cuál situación es geométrica (no binomial)?
'Until the first success' → geometric; fixed n → binomial. · 'Hasta el primer éxito' → geométrica; n fijo → binomial.
Roll a die until the first six (p = 1/6). Find the expected number of rolls. · Lance un dado hasta obtener el primer seis (p = 1/6). Encuentre el número esperado de lanzamientos.
μ = 1/p = 1/(1/6) = 6.
In the geometric formula P(X=k) = (1−p)^(k−1)·p, the (1−p)^(k−1) part is the first k−1 failures. · En la fórmula geométrica P(X=k) = (1−p)^(k−1)·p, la parte (1−p)^(k−1) corresponde a los primeros k−1 fracasos.
Fail k−1 times, then succeed on trial k. · Fallar k−1 veces, luego tener éxito en el ensayo k.
The mean of a geometric random variable is 1 divided by ___ (the letter for success probability). · La media de una variable aleatoria geométrica es 1 dividido por ___ (la letra para la probabilidad de éxito).
μ = 1/p.