Combining Random Variables · Combinación de Variables Aleatorias
| English | Español |
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| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformación lineal |
Scaling and shifting
- A linear transformation 线性变换 $aX + b$ scales by $a$ and shifts by $b$.
- Mean: $\mu_{aX+b} = a\,\mu_X + b$ — both scale and shift carry through.
- SD: $\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X$ — scaling stretches spread; shifting doesn't.
- Adding a constant moves the center but leaves the spread untouched.
Escalado y desplazamiento
- Una transformación lineal $aX + b$ escala por $a$ y desplaza por $b$.
- Media: $\mu_{aX+b} = a\,\mu_X + b$ — tanto el escalado como el desplazamiento se aplican.
- DS: $\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X$ — el escalado estira la dispersión; el desplazamiento no.
- Sumar una constante mueve el centro pero deja la dispersión sin cambios.
Means of sums and differences
- Means always add (or subtract), no conditions needed:
-
$$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y \qquad \mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y$$
- Expected values combine linearly, whether or not the variables are independent.
- This is the easy, always-true half of the rules.
Medias de sumas y restas
- Las medias siempre se suman (o restan), sin condiciones necesarias:
-
$$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y \qquad \mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y$$
- Los valores esperados se combinan linealmente, ya sean las variables independientes o no.
- Esta es la parte sencilla y siempre válida de las reglas.
SD of sums and differences
- Variances add for independent variables — even for a difference:
-
$$\sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$
- Then $\sigma_{X\pm Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$.
- Note the $+$: you add variances even when subtracting the variables.
DS de sumas y restas
- Las varianzas se suman para variables independientes — incluso en una resta:
-
$$\sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$
- Entonces $\sigma_{X\pm Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$.
- Nota el signo $+$: se suman las varianzas aunque se estén restando las variables.
Combining independent normals
- A sum or difference of independent normal random variables is also normal.
- Its mean and SD come from the rules above ($\mu$'s add/subtract; variances add).
- So you can find probabilities for the combined variable with the normal model.
- This makes many two-variable questions solvable in one clean step.
Combinación de normales independientes
- La suma o diferencia de variables aleatorias normales independientes también es normal.
- Su media y DS provienen de las reglas anteriores ($\mu$'s se suman/restan; varianzas se suman).
- Así puedes encontrar probabilidades para la variable combinada usando el modelo normal.
- Esto permite resolver muchas preguntas de dos variables en un solo paso limpio.
Two traps. (1) When you subtract variables, you still add their variances ($\sigma_{X-Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — never subtract variances. (2) Never add standard deviations directly ($\sigma_X+\sigma_Y$ is wrong); add the variances, then square-root. Both rules require the variables to be independent.
Dos trampas. (1) Cuando restas variables, aún sumas sus varianzas ($\sigma_{X-Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — nunca restes varianzas. (2) Nunca sumes desviaciones estándar directamente ($\sigma_X+\sigma_Y$ es incorrecto); suma las varianzas y luego saca la raíz cuadrada. Ambas reglas requieren que las variables sean independientes.
$X$ (mean $10$, SD $3$) and $Y$ (mean $4$, SD $4$) are independent.
- Mean of $X-Y$: $10 - 4 = 6$.
- Variance: $\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 16 = 25$ (add, even for a difference).
- SD of $X-Y$: $\sqrt{25} = 5$.
$X$ (media $10$, DS $3$) e $Y$ (media $4$, DS $4$) son independientes.
- Media de $X-Y$: $10 - 4 = 6$.
- Varianza: $\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 16 = 25$ (se suma, incluso para una resta).
- DS de $X-Y$: $\sqrt{25} = 5$.
A linear transformation: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ but $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$ (shifts don't affect spread). Means add/subtract always; for independent variables variances add ($\sigma_{X\pm Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — even for a difference. A combination of independent normals is normal.
Una transformación lineal: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ pero $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$ (los desplazamientos no afectan la dispersión). Las medias se suman/restan siempre; para variables independientes las varianzas se suman ($\sigma_{X\pm Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — incluso para una resta. Una combinación de normales independientes es normal.
A combined normal variable · Una variable normal combinada
A sum/difference of independent normals is itself normal. · La suma/resta de normales independientes es también normal.
X has mean 10, Y has mean 4. Find the mean of X − Y. · X tiene media 10, Y tiene media 4. Encuentre la media de X − Y.
Means subtract: 10 − 4 = 6. · Las medias se restan: 10 − 4 = 6.
X has SD 3, Y has SD 4, independent. Find the SD of X − Y. · X tiene DS 3, Y tiene DS 4, independientes. Encuentre el DS de X − Y.
Variances add: 9 + 16 = 25, so SD = √25 = 5. · Las varianzas se suman: 9 + 16 = 25, por lo tanto DS = √25 = 5.
When subtracting two independent random variables, you subtract their variances. · Al restar dos variables aleatorias independientes, se restan sus varianzas.
Variances ADD even for a difference — never subtract them. · Las varianzas SE SUMAN incluso para una diferencia — nunca se restan.
For the transformation 2X + 5, the standard deviation becomes... · Para la transformación 2X + 5, la desviación estándar se convierte en...
SD scales by |a| but the shift +5 doesn't affect spread. · El DS se escala por |a| pero el desplazamiento +5 no afecta la dispersión.
To combine standard deviations of independent variables, you should add the SDs directly. · Para combinar desviaciones estándar de variables independientes, debe sumar los DS directamente.
Add the variances, then square-root — not the SDs. · Sume las varianzas y luego saque raíz cuadrada — no los DS.