Random Variables · Variables Aleatorias
| English | Español |
|---|---|
| random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variable aleatoria |
| probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribución de probabilidad |
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variable aleatoria discreta |
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variable aleatoria continua |
A number that depends on chance
- A random variable 随机变量 assigns a number to each outcome of a chance process.
- Example: $X =$ the number of heads in $3$ coin flips.
- Its value is decided by randomness, so it has a probability distribution.
- Random variables let us do arithmetic with chance.
Un número que depende del azar
- Una variable aleatoria 随机变量 asigna un número a cada resultado de un proceso de azar.
- Ejemplo: $X =$ el número de caras en $3$ lanzamientos de moneda.
- Su valor se decide por la aleatoriedad, por lo que tiene una distribución de probabilidad.
- Las variables aleatorias nos permiten realizar aritmética con el azar.
Discrete vs. continuous
- A discrete random variable 离散随机变量 takes countable, separate values ($0, 1, 2, \dots$).
- A continuous random variable 连续随机变量 can take any value in an interval (heights, times).
- Count → discrete; measure on a scale → continuous.
- This unit focuses on discrete distributions (a table of values and probabilities).
Discreta vs. continua
- Una variable aleatoria discreta 离散随机变量 toma valores contables y separados ($0, 1, 2, \dots$).
- Una variable aleatoria continua 连续随机变量 puede tomar cualquier valor en un intervalo (alturas, tiempos).
- Contar → discreto; medir en una escala → continuo.
- Esta unidad se centra en distribuciones discretas (una tabla de valores y probabilidades).
The probability distribution
- A probability distribution 概率分布 lists each value $x$ with its probability $P(x)$.
- Two rules make it valid: each $0 \le P(x) \le 1$, and all the $P(x)$ sum to $1$.
- It can be shown as a table or a bar-style graph.
- The distribution is the complete description of the random variable.
La distribución de probabilidad
- Una distribución de probabilidad 概率分布 enumera cada valor $x$ con su probabilidad $P(x)$.
- Dos reglas la hacen válida: cada $0 \le P(x) \le 1$, y todas las $P(x)$ suman $1$.
- Puede representarse como una tabla o un gráfico de barras.
- La distribución es la descripción completa de la variable aleatoria.
Probabilities of events
- To find $P(X \ge 2)$ or $P(X = 1)$, just add the relevant $P(x)$ values.
- "$X$ at least $2$" = $P(2) + P(3) + \cdots$.
- "$X$ between" = sum the probabilities in that range.
- Every event probability is a sum of the listed pieces.
Probabilidades de eventos
- Para encontrar $P(X \ge 2)$ o $P(X = 1)$, simplemente suma los valores relevantes $P(x)$.
- "$X$ al menos $2$" = $P(2) + P(3) + \cdots$.
- "$X$ entre" = suma las probabilidades en ese rango.
- La probabilidad de cada evento es una suma de las piezas enumeradas.
A probability distribution must have all $P(x)$ in $[0,1]$ summing to exactly $1$ — if a table's probabilities don't total $1$, it isn't valid. And keep discrete vs. continuous straight: you count a discrete variable (number of heads) but measure a continuous one (a person's exact height) — the tools differ.
Una distribución de probabilidad debe tener todas las $P(x)$ en $[0,1]$ sumando exactamente $1$ — si las probabilidades de una tabla no totalizan $1$, no es válida. Y mantenga clara la distinción entre discreta y continua: cuenta una variable discreta (número de caras) pero mide una continua (la altura exacta de una persona) — las herramientas son diferentes.
$X =$ heads in $2$ fair flips. Distribution: $P(0)=0.25,\ P(1)=0.5,\ P(2)=0.25$.
- Valid? All in $[0,1]$ and $0.25+0.5+0.25 = 1$. ✓
- $P(X \ge 1) = P(1) + P(2) = 0.5 + 0.25 = 0.75$.
- $P(X = 2) = 0.25$ — exactly two heads.
$X =$ caras en $2$ lanzamientos justos. Distribución: $P(0)=0.25,\ P(1)=0.5,\ P(2)=0.25$.
- ¿Válido? Todo está en $[0,1]$ y $0.25+0.5+0.25 = 1$. ✓
- $P(X \ge 1) = P(1) + P(2) = 0.5 + 0.25 = 0.75$.
- $P(X = 2) = 0.25$ — exactamente dos caras.
A random variable assigns a number to each outcome. A discrete one takes countable values; a continuous one takes any value in an interval. Its probability distribution lists $P(x)$ with each in $[0,1]$ summing to $1$; event probabilities like $P(X\ge 2)$ are sums of the relevant $P(x)$.
Una variable aleatoria asigna un número a cada resultado. Una discreta toma valores contables; una continua toma cualquier valor en un intervalo. Su distribución de probabilidad enumera $P(x)$ con cada una en $[0,1]$ sumando $1$; las probabilidades de eventos como $P(X\ge 2)$ son sumas de los relevantes $P(x)$.
A discrete probability distribution · Una distribución de probabilidad discreta
Each bar is P(x); the bars sum to 1. · Cada barra es P(x); las barras suman 1.
The number of heads in 3 coin flips is which kind of random variable? · El número de caras en 3 lanzamientos de moneda es qué tipo de variable aleatoria?
It takes countable separate values (0,1,2,3) — discrete. · Toma valores separados y contables (0,1,2,3) — discreta.
In a valid probability distribution, the probabilities must sum to 1. · En una distribución de probabilidad válida, las probabilidades deben sumar 1.
All P(x) in [0,1] and summing to exactly 1. · Todo P(x) está en [0,1] y suma exactamente 1.
X = heads in 2 flips: P(0)=0.25, P(1)=0.5, P(2)=0.25. Find P(X ≥ 1). · X = caras en 2 lanzamientos: P(0)=0.25, P(1)=0.5, P(2)=0.25. Encuentra P(X ≥ 1).
P(1)+P(2) = 0.5 + 0.25 = 0.75.
A person's exact height is which kind of variable? · La altura exacta de una persona es qué tipo de variable?
Height is measured on a scale — continuous. · La altura se mide en una escala — continua.
A rule assigning a number to each outcome of a chance process is a ___ variable. · Una regla que asigna un número a cada resultado de un proceso al azar es una ___ variable.
That's the definition of a random variable. · Esa es la definición de una variable aleatoria.