Matrices Modeling Contexts · Matrices que modelan contextos
| English | Español |
|---|---|
| state vector/steɪt ˈvektə/ | vector de estado |
| state/steɪt/ | estado |
| transition matrix/trænˈsɪʃn ˈmeɪtrɪks/ | matriz de transición |
Predicting the future with a matrix
- Every year, some people move from the city to the suburbs, and some move back.
- Given this year's populations, can you predict next year's?
- A matrix can store the movement rates and do the prediction for you.
- This is how matrices model populations, markets, weather, and more.
Prediciendo el futuro con una matriz
- Cada año, algunas personas se mudan de la ciudad a los suburbios y otras regresan.
- Dadas las poblaciones de este año, ¿puedes predecir las del próximo?
- Una matriz puede almacenar las tasas de movimiento y hacer la predicción por ti.
- Así es como las matrices modelan poblaciones, mercados, clima y más.
State vectors: the current picture
- Collect the current amounts into a state vector 状态向量 — one entry per category.
- For a city and its suburbs: $\begin{bmatrix}\text{city}\\ \text{suburb}\end{bmatrix}$, say $\langle 600, 400\rangle$ (thousands).
- Each state 状态 is one thing being tracked; the vector is a snapshot in time.
- Next year's snapshot will be a new state vector.
Vectores de estado: la imagen actual
- Agrupa las cantidades actuales en un vector de estado — un elemento por categoría.
- Para una ciudad y sus suburbios: $\begin{bmatrix}\text{city}\\ \text{suburb}\end{bmatrix}$, digamos $\langle 600, 400\rangle$ (en miles).
- Cada estado representa una entidad que se sigue; el vector es una instantánea en el tiempo.
- La próxima instantánea será un nuevo vector de estado.
A state vector in this kind of model holds… · Un vector de estado en este tipo de modelo contiene…
A state vector lists how much is in each category right now — one entry per state. · Un vector de estado lista cuánto hay en cada categoría en este momento: una entrada por estado.
The transition matrix: the rules
- A transition matrix 转移矩阵 stores the fraction moving between every pair of states.
- Each number is a rate: e.g. $5\%$ of city dwellers move to the suburbs each year.
- The diagram below shows two states with the movement rates on the arrows.
- Those same rates become the entries of the matrix.
La matriz de transición: las reglas
- Una matriz de transición almacena la fracción que se mueve entre cada par de estados.
- Cada número es una tasa: p. ej., $5\%$ de los habitantes de la ciudad se mudan a los suburbios cada año.
- El diagrama siguiente muestra dos estados con las tasas de movimiento indicadas en las flechas.
- Esas mismas tasas se convierten en las entradas de la matriz.
The matrix that stores the rates of movement between states is called the ____ matrix. · La matriz que almacena las tasas de movimiento entre estados se llama matriz ____.
The · El transition matrix holds the fraction moving from each state to each other state. · La matriz de transición contiene la fracción que se mueve de cada estado a cada otro estado.
Multiplying the transition matrix by the current state vector predicts the next · siguiente state. · Multiplicar la matriz de transición por el vector de estado actual predice el estado siguiente.
One matrix-times-vector step advances the model by one time period. · Un paso de multiplicación de matriz por vector avanza el modelo un período de tiempo.
Stepping forward in time
- Multiply the transition matrix by the current state vector to get next year's.
- One matrix-times-vector = one year forward.
- Want two years? Multiply again. Ten years? Multiply ten times.
- The model marches forward, one step per multiplication.
Avanzando en el tiempo
- Multiplica la matriz de transición por el vector de estado actual para obtener el del próximo año.
- Una multiplicación de matriz por vector equivale a un paso hacia adelante.
- ¿Quieres dos años? Multiplica nuevamente. ¿Diez años? Multiplica diez veces.
- El modelo avanza paso a paso, un paso por cada multiplicación.
A good use of a matrix? · ¿Un buen uso de una matriz?
Matrices model transformations, systems and transitions. Sort each task. · Las matrices modelan transformaciones, sistemas y transiciones. Clasifique cada tarea.
To predict the state two periods ahead, you… · Para predecir el estado dos períodos adelante, usted…
Each multiplication advances one period, so two periods need two multiplications (or multiply by the matrix squared). · Cada multiplicación avanza un período, por lo que dos períodos requieren dos multiplicaciones (o multiplicar por la matriz al cuadrado).
Select all · todos true statements about matrix models. · Seleccione todas las afirmaciones verdaderas sobre los modelos matriciales.
The same transition matrix is reused each period — you do not redraw it. The other three are correct. · Se reutiliza la misma matriz de transición en cada período; no es necesario redibujarla. Las otras tres son correctas.
The long run
- Repeated steps often settle toward a steady state that stops changing.
- At the steady state, as many people leave the city as arrive — populations hold constant.
- Matrices let you find this long-run balance without simulating every single year.
- The same idea powers web-page ranking, genetics, and epidemic models.
A largo plazo
- Los pasos repetidos suelen converger hacia un estado estacionario que deja de cambiar.
- En el estado estacionario, tantas personas abandonan la ciudad como llegan — las poblaciones se mantienen constantes.
- Las matrices te permiten encontrar este equilibrio a largo plazo sin simular año tras año.
- La misma idea sustenta el posicionamiento de páginas web, la genética y los modelos epidemiológicos.
Set the model up consistently: decide once whether the state vector is a column multiplied on the right of the matrix, and make each column's (or row's) rates add to $1$ so no one is lost or invented. A mismatched setup silently gives nonsense predictions.
Configura el modelo de manera consistente: decide una sola vez si el vector de estado es una columna que se multiplica a la derecha de la matriz, y haz que las tasas de cada columna (o fila) sumen $1$ para que nadie se pierda ni se invente. Una configuración inconsistente genera predicciones erróneas sin advertencia.
City $= 600$, suburb $= 400$ (thousands). Each year $5\%$ of city → suburb, $2\%$ of suburb → city.
- Leaving the city: $0.05 \times 600 = 30$; arriving: $0.02 \times 400 = 8$.
- New city $= 600 - 30 + 8 = 578$; new suburb $= 400 + 30 - 8 = 422$.
- The matrix does exactly this arithmetic in a single multiplication.
Ciudad $= 600$, suburbio $= 400$ (en miles). Cada año $5\%$ de la ciudad → suburbio, $2\%$ del suburbio → ciudad.
- Quienes salen de la ciudad: $0.05 \times 600 = 30$; quienes llegan: $0.02 \times 400 = 8$.
- Nueva población urbana $= 600 - 30 + 8 = 578$; nuevo suburbio $= 400 + 30 - 8 = 422$.
- La matriz realiza exactamente esta aritmética en una única multiplicación.
A state vector holds the current amount in each state, and a transition matrix stores the rates of movement between them. Multiplying the matrix by the state vector steps the model one period forward; repeating it predicts the long-run behaviour. This is how matrices model real-world change.
Un vector de estado contiene la cantidad actual en cada estado, y una matriz de transición almacena las tasas de movimiento entre ellos. Multiplicar la matriz por el vector de estado avanza el modelo un periodo; repetirlo permite predecir el comportamiento a largo plazo. Así es como las matrices modelan el cambio en el mundo real.