Conic Sections · Secciones Cónicas
| English | Español |
|---|---|
| ellipse/ɪˈlɪps/ | elipse |
| parabola/pəˈræbələ/ | parábola |
| hyperbola/haɪˈpɜːbələ/ | hipérbola |
| conic section/ˈkɒnɪk ˈsekʃn/ | cónica |
Slicing a cone
- Take a double cone and slice it with a flat plane at different tilts.
- Cut straight across and you get a circle; tilt a little and it stretches to an ellipse.
- Tilt more and it opens into a parabola; steeper still and it splits into a hyperbola.
- These four curves — the conic sections — appear all over science and design.
Secciones cónicas
- Toma un cono doble y cortalo con un plano horizontal a diferentes inclinaciones.
- Si cortas perpendicularmente, obtienes un círculo; si inclinas ligeramente, se estira hasta formar una elipse.
- Al inclinar más, se abre en una parábola; e inclínalo aún más y se divide en una hipérbola.
- Estas cuatro curvas —las secciones cónicas— aparecen por todas partes en la ciencia y el diseño.
The family of conics
- A conic section 圆锥曲线 is a curve where a plane cuts a cone.
- The four types are the circle, the ellipse, the parabola, and the hyperbola.
- Each has a clean implicit equation and a geometric "distance" definition.
- Planets orbit on ellipses; thrown balls and satellite dishes trace parabolas.
La familia de las cónicas
- Una sección cónica 圆锥曲线 es una curva que resulta del corte de un plano con un cono.
- Los cuatro tipos son el círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola.
- Cada una tiene una ecuación implícita limpia y una definición geométrica basada en "distancias".
- Los planetas orbitan sobre elipses; las pelotas lanzadas y los satélites dish trazan parábolas.
The · El conic sections are the curves formed by… · Las secciones cónicas son las curvas formadas por…
A conic section is the intersection of a plane and a cone; the slice angle gives a circle, ellipse, parabola, or hyperbola. · Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono; el ángulo del corte determina si se obtiene un círculo, elipse, parábola o hipérbola.
A circle is a special conic section (an ellipse whose two foci coincide). · Un círculo es una sección cónica especial (una elipse cuyos dos focos coinciden).
When the two foci merge into one centre, the ellipse becomes a perfectly round circle. · Cuando los dos focos se fusionan en un solo centro, la elipse se convierte en un círculo perfectamente redondo.
The ellipse
- An ellipse 椭圆 is the set of points whose distances to two fixed foci add to a constant.
- Its equation is $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, a stretched circle.
- A circle is just the special case where the two foci merge into one centre.
- The longer axis is the major axis; the shorter is the minor axis.
La elipse
- Una elipse 椭圆 es el conjunto de puntos cuyas distancias a dos focos fijos suman una constante.
- Su ecuación es $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, un círculo estirado.
- Un círculo es simplemente el caso especial donde los dos focos se fusionan en un solo centro.
- El eje más largo es el eje mayor; el más corto es el eje menor.
An ellipse · elipse is the set of points where the sum of distances to two foci is… · Una elipse es el conjunto de puntos donde la suma de distancias a dos focos es…
Every point on an ellipse · elipse has the same · mismo total distance to the two foci — that constant defines the shape. · Cada punto en una elipse tiene la misma distancia total a los dos focos — esa constante define la forma.
Select all · todos the conic sections. · Selecciona todas las secciones cónicas.
A triangle is not a conic. The circle, ellipse, parabola, and hyperbola are the conic sections. · Un triángulo no es una sección cónica. El círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola son las secciones cónicas.
Parabola and hyperbola
- A parabola 抛物线 is the set of points equidistant from a focus and a fixed line (the directrix).
- Its equation looks like $y = ax^2$ — the graph of a quadratic.
- A hyperbola 双曲线 is where the difference of distances to two foci is constant.
- Its equation is $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, opening into two branches.
Parábola e hipérbola
- Una parábola 抛物线 es el conjunto de puntos equidistantes de un foco y una línea fija (la directriz).
- Su ecuación se parece a $y = ax^2$ —la gráfica de una función cuadrática—.
- Una hipérbola 双曲线 es donde la diferencia de distancias a dos focos es constante.
- Su ecuación es $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, abriéndose en dos ramas.
Which conic section? · ¿Qué sección cónica?
The squared terms tell you the conic. Sort each equation. · Los términos al cuadrado te indican la cónica. Clasifica cada ecuación.
A ____ is the conic where each point is equidistant from a focus and a directrix line. · Una ____ es la cónica donde cada punto está equidistante de un foco y una línea directriz.
A parabola · parábola balances distance to a focus against distance to a fixed line (the directrix). · Una parábola equilibra la distancia a un foco contra la distancia a una línea fija (la directriz).
Recognising a conic
- Read the equation's form: an $x^2 + y^2$ with equal coefficients is a circle.
- Different positive coefficients on $x^2$ and $y^2$ give an ellipse.
- Only one squared term gives a parabola; a minus sign between them gives a hyperbola.
- The sign pattern of the squared terms tells you which conic you have.
Reconocimiento de una cónica
- Lee la forma de la ecuación: un $x^2 + y^2$ con coeficientes iguales es un círculo.
- Coeficientes positivos diferentes en $x^2$ y $y^2$ dan una elipse.
- Solo un término al cuadrado da una parábola; un signo menos entre ellos da una hipérbola.
- El patrón de signos de los términos al cuadrado te dice qué cónica tienes.
Not every conic is a function of $x$. Circles, ellipses, and sideways parabolas fail the vertical-line test. Describe them with implicit equations or parametric forms, not by trying to force a single $y = f(x)$.
No toda cónica es una función de $x$. Los círculos, las elipses y las parábolas laterales fallan la prueba de la línea vertical. Descríbelas mediante ecuaciones implícitas o formas paramétricas, no intentando forzar una única $y = f(x)$.
Identify the conic $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.
- Both terms are squared, positive, and different coefficients.
- That is the equation of an ellipse.
- It stretches to $x = \pm 3$ (major axis) and $y = \pm 2$ (minor axis).
Identifica la cónica $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.
- Ambos términos están elevados al cuadrado, son positivos y tienen coeficientes diferentes.
- Esa es la ecuación de una elipse.
- Se estira hasta $x = \pm 3$ (eje mayor) y $y = \pm 2$ (eje menor).
The conic sections — circle, ellipse, parabola, and hyperbola — are the curves formed by slicing a cone. Each has a distance definition (an ellipse sums distances to two foci) and a signature implicit equation, and most are not functions of $x$.
Las secciones cónicas —círculo, elipse, parábola e hipérbola— son las curvas formadas al cortar un cono. Cada una tiene una definición de distancia (una elipse suma distancias a dos focos) y una ecuación implícita distintiva, y la mayoría no son funciones de $x$.