Parametric Functions · Funciones Paramétricas
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| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | función paramétrica |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | ecuaciones paramétricas |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | parámetro |
Following a moving point
- A bird's flight cannot be captured by "$y$ as a function of $x$" — it loops and doubles back.
- Instead, describe where the bird is at each moment: its $x$ and its $y$, each depending on time.
- That is the parametric idea: a third variable drives both coordinates.
- It frees us to draw any path, not just curves that pass the vertical-line test.
Siguiendo un punto en movimiento
- El vuelo de un ave no puede capturarse mediante "$y$ como función de $x$", ya que realiza bucles y retrocesos.
- En cambio, describe dónde se encuentra el ave en cada instante: su $x$ y su $y$, dependiendo ambos del tiempo.
- Esa es la idea paramétrica: una tercera variable determina ambas coordenadas.
- Esto nos permite trazar cualquier trayectoria, no solo curvas que superen la prueba de la recta vertical.
What a parametric function is
- A parametric function 参数方程函数 gives two rules: $x = x(t)$ and $y = y(t)$.
- These parametric equations 参数方程 share a common input $t$.
- For each value of $t$, you get one point $(x(t), y(t))$ on the curve.
- As $t$ runs through its interval, the point sweeps out the whole path.
Qué es una función paramétrica
- Una función paramétrica proporciona dos reglas: $x = x(t)$ y $y = y(t)$.
- Estas ecuaciones paramétricas comparten una entrada común $t$.
- Para cada valor de $t$, se obtiene un punto $(x(t), y(t))$ en la curva.
- A medida que $t$ recorre su intervalo, el punto traza toda la trayectoria.
A parametric function describes a curve using… · Una función paramétrica describe una curva mediante…
A parametric function gives $x$ and · y $y$ each as a function of a parameter $t$: the pair $(x(t), y(t))$ traces the curve. · Una función paramétrica proporciona $x$ e $y$ cada una como función de un parámetro $t$: el par $(x(t), y(t))$ traza la curva.
For · A favor $x = t^2 - 3$ and · y $y = t$, what is the $x$-coordinate when $t = 2$? · Para $x = t^2 - 3$ e $y = t$, ¿cuál es la coordenada $x$ cuando $t = 2$?
$x = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$; and $y = t = 2$, so the point is $(1, 2)$. · $x = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$; y $y = t = 2$, así que el punto es $(1, 2)$.
A path, not a function of x
- Because both coordinates depend on $t$, the curve can loop, cross itself, or double back.
- It need not be a function of $x$ — a full circle or a spiral is perfectly fine.
- This is the key advantage over ordinary $y = f(x)$ graphs.
- The same picture would be impossible to write as a single $y$ in terms of $x$.
Una trayectoria, no una función de x
- Dado que ambas coordenadas dependen de $t$, la curva puede formar bucles, cruzarse a sí misma o regresar sobre su trayectoria.
- No necesita ser una función de $x$; un círculo completo o una espiral son perfectamente válidos.
- Esta es la ventaja clave frente a las gráficas ordinarias de $y = f(x)$.
- La misma imagen sería imposible de expresar como una única $y$ en términos de $x$.
A parametric curve can trace a shape that is not a function of $x$ (like a full circle). · Una curva paramétrica puede trazar una figura que no es una función de $x$ (como un círculo completo).
Because both coordinates depend on $t$, the path can loop or double back — it need not pass the vertical-line test. · Como ambas coordenadas dependen de $t$, la trayectoria puede formar bucles o retroceder — no necesita pasar la prueba de la línea vertical.
The independent variable $t$ that drives both $x$ and · y $y$ is called the ____. · La variable independiente $t$ que gobierna tanto a $x$ como a $y$ se llama ____.
The · El parameter $t$ (often time) determines a single point $(x(t), y(t))$ for each of its values. · El parámetro $t$ (a menudo tiempo) determina un punto único $(x(t), y(t))$ para cada uno de sus valores.
Select all · todos true statements about parametric functions. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre funciones paramétricas.
A parametric curve need not · no be a function of $x$ — that is its advantage. The other three are correct. · Una curva paramétrica no necesita ser una función de $x$ — esa es su ventaja. Las otras tres son correctas.
The parameter
- The driving variable $t$ is the parameter 参数, and it often stands for time.
- Different values of $t$ place the point at different spots along the curve.
- The direction of increasing $t$ gives the path an orientation — the way it is traced.
- Restricting $t$ to an interval draws only part of the curve.
El parámetro
- La variable de conducción $t$ es el parámetro 参数, y a menudo representa el tiempo.
- Los diferentes valores de $t$ colocan el punto en distintos lugares a lo largo de la curva.
- La dirección de aumento de $t$ le da a la trayectoria una orientación — la forma en que se traza.
- Restringir $t$ a un intervalo dibuja solo parte de la curva.
What parametric form allows · Lo que permite la forma paramétrica
In parametric form, x and y each depend on a parameter t. Sort each statement. · En la forma paramétrica, x e y dependen cada una de un parámetro t. Ordena cada afirmación.
Eliminating the parameter
- Sometimes you can solve one equation for $t$ and substitute to get a plain $y$–$x$ relation.
- For $x = t$, $y = t^2$, substituting gives $y = x^2$ — a familiar parabola.
- This recovers the shape but throws away the timing and direction.
- Keep the parametric form when the motion, not just the shape, matters.
Eliminación del parámetro
- A veces puedes resolver una ecuación para $t$ y sustituir para obtener una relación $y$–$x$ simple.
- Para $x = t$, $y = t^2$, la sustitución da como resultado $y = x^2$ — una parábola familiar.
- Esto recupera la forma pero pierde el tiempo y la dirección.
- Mantén la forma paramétrica cuando lo importante es el movimiento, no solo la forma.
A parametric curve carries more information than its shape alone: it also has a direction and timing. Two different parametrizations can trace the same shape at different speeds or in opposite directions — do not treat them as identical.
Una curva paramétrica contiene más información que su forma por sí sola: también tiene una dirección y un tiempo. Dos parametrizaciones diferentes pueden trazar la misma forma a distintas velocidades o en direcciones opuestas; no las trates como idénticas.
Plot $x = t^2 - 3$, $y = t$ for $t = -2, -1, 0, 1, 2$.
- Points: $(1, -2), (-2, -1), (-3, 0), (-2, 1), (1, 2)$.
- Joined in order, they trace a sideways parabola opening to the right.
- No vertical line rule applies — this is not a function of $x$.
Grafique $x = t^2 - 3$, $y = t$ para $t = -2, -1, 0, 1, 2$.
- Puntos: $(1, -2), (-2, -1), (-3, 0), (-2, 1), (1, 2)$.
- Unidos en orden, trazan una parábola lateral que se abre hacia la derecha.
- No se aplica la regla de la línea vertical; esto no es una función de $x$.
A parametric function describes a curve with parametric equations $x = x(t)$ and $y = y(t)$, driven by a parameter $t$ (often time). Because both coordinates depend on $t$, the path can loop and need not be a function of $x$, and it carries a direction and timing.
Una función paramétrica describe una curva mediante ecuaciones paramétricas $x = x(t)$ y $y = y(t)$, impulsada por un parámetro $t$ (a menudo el tiempo). Dado que ambas coordenadas dependen de $t$, la trayectoria puede formar bucles y no necesariamente es una función de $x$, además posee dirección y cronología.