Polar Coordinates · Coordenadas Polares
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|---|---|
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | coordenadas polares |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radianes |
| polar grid/ˈpəʊlə ɡrɪd/ | rejilla polar |
A different way to say "where"
- Usually we locate a point by "go right $x$, go up $y$" — rectangular coordinates.
- But a radar screen or a compass thinks differently: "how far, and in which direction?"
- That is the polar way: a distance and an angle.
- For anything that spins or radiates, polar coordinates are far more natural.
Una forma diferente de decir "dónde"
- Usualmente localizamos un punto con "ve derecha $x$, ve arriba $y$" — coordenadas rectangulares.
- Pero una pantalla de radar o una brújula piensan diferente: "¿a qué distancia y en qué dirección?".
- Esa es la forma polar: una distancia y un ángulo.
- Para cualquier cosa que gire o irradie, las coordenadas polares son mucho más naturales.
A point as (r, θ)
- Polar coordinates 极坐标 name a point by $(r, \theta)$.
- $r$ is the distance from the origin (the pole); $\theta$ is the angle from the positive x-axis.
- The angle is measured in radians 弧度 (or degrees), counter-clockwise.
- So $(2, \tfrac{\pi}{4})$ means "go out $2$ units at a $45°$ direction".
Un punto como (r, θ)
- Las coordenadas polares 极坐标 nombran un punto mediante $(r, \theta)$.
- $r$ es la distancia desde el origen (el polo); $\theta$ es el ángulo desde el eje x positivo.
- El ángulo se mide en radianes 弧度 (o grados), en sentido antihorario.
- Así, $(2, \tfrac{\pi}{4})$ significa "salir $2$ unidades en dirección $45°$".
In polar coordinates $(r, \theta)$, the two numbers give… · En coordenadas polares $(r, \theta)$, los dos números dan…
Polar coordinates · Coordenadas polares use $r$ (distance from the origin) and $\theta$ (angle), unlike the $(x, y)$ of rectangular coordinates. · Las coordenadas polares usan $r$ (distancia desde el origen) y $\theta$ (ángulo), a diferencia de las $(x, y)$ de las coordenadas rectangulares.
The polar grid
- A polar grid 极坐标网格 is a set of concentric circles (constant $r$) and radial lines (constant $\theta$).
- Reading a point is easy: find its circle, then its radial line.
- The origin is $r = 0$, the single centre of all the circles.
- This grid replaces the familiar square graph paper of rectangular coordinates.
La cuadrícula polar
- Una cuadrícula polar 极坐标网格 es un conjunto de círculos concéntricos ($r$ constante) y líneas radiales ($\theta$ constante).
- Leer un punto es fácil: encuentra su círculo, luego su línea radial.
- El origen es $r = 0$, el único centro de todos los círculos.
- Esta cuadrícula reemplaza al papel cuadriculado familiar de las coordenadas rectangulares.
Locate a point by radius and angle · Ubicar un punto por radio y ángulo
Set the angle and the radius to place a point. Polar coordinates (r, theta) describe location by direction and distance. · Establece el ángulo y el radio para colocar un punto. Las coordenadas polares (r, theta) describen la ubicación mediante dirección y distancia.
To convert $(r, \theta)$ to rectangular $(x, y)$, use… · Para convertir $(r, \theta)$ a rectangular $(x, y)$, use…
The unit-circle relationship scales up by $r$: $x = r\cos\theta$ and · y $y = r\sin\theta$. · La relación del círculo unitario se escala por $r$: $x = r\cos\theta$ y $y = r\sin\theta$.
A point has $r = 2$ and · y $\theta = 0$. What is its $x$-coordinate? · Un punto tiene $r = 2$ y $\theta = 0$. ¿Cuál es su coordenada $x$?
$x = r\cos\theta = 2\cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$; and $y = 2\sin 0 = 0$. · $x = r\cos\theta = 2\cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$; y $y = 2\sin 0 = 0$.
Select all · todos true statements about polar coordinates. · Seleccione todas las afirmaciones verdaderas sobre las coordenadas polares.
Polar forms are not · no unique — many $(r, \theta)$ name the same point. The other three are correct. · Las formas polares no son únicas — muchos $(r, \theta)$ nombran el mismo punto. Las otras tres son correctas.
Converting between systems
- Polar to rectangular: $x = r\cos\theta$ and $y = r\sin\theta$.
- Rectangular to polar: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ and $\theta = \arctan\!\tfrac{y}{x}$ (mind the quadrant).
- These come straight from the unit-circle definitions, scaled by $r$.
- Switch to whichever system makes the problem simpler.
Conversión entre sistemas
- De polar a rectangular: $x = r\cos\theta$ y $y = r\sin\theta$.
- De rectangular a polar: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ y $\theta = \arctan\!\tfrac{y}{x}$ (ten cuidado con el cuadrante).
- Estos provienen directamente de las definiciones del círculo unitario, escalados por $r$.
- Cambia al sistema que haga el problema más sencillo.
The same point can have more than one set of polar coordinates (e.g. adding $2\pi$ to the angle). · El mismo punto puede tener más de un conjunto de coordenadas polares (p. ej., sumando $2\pi$ al ángulo).
Adding a full turn to $\theta$ lands on the same point, so polar coordinates are not unique. · Sumar una vuelta completa a $\theta$ cae en el mismo punto, por lo que las coordenadas polares no son únicas.
Not a unique address
- Unlike $(x, y)$, a polar point has many names.
- Adding $2\pi$ to $\theta$ lands on the very same point.
- A negative $r$ points in the opposite direction, giving yet another name.
- So $(2, 0)$, $(2, 2\pi)$, and $(-2, \pi)$ are all the same point.
No es una dirección única
- A diferencia de $(x, y)$, un punto polar tiene muchos nombres.
- Sumar $2\pi$ a $\theta$ aterriza exactamente en el mismo punto.
- Un $r$ negativo apunta en dirección opuesta, dando aún otro nombre.
- Por lo tanto, $(2, 0)$, $(2, 2\pi)$ y $(-2, \pi)$ son todos el mismo punto.
Polar coordinates are not unique: one point has infinitely many $(r, \theta)$ names. When converting or solving, watch the quadrant and remember that $\arctan$ alone can land you in the wrong half of the plane.
Las coordenadas polares no son únicas: un punto tiene infinitos $(r, \theta)$ nombres. Al convertir o resolver, vigila el cuadrante y recuerda que $\arctan$ solo puede llevarte a la mitad incorrecta del plano.
Convert the polar point $(4, \tfrac{\pi}{2})$ to rectangular coordinates.
- $x = r\cos\theta = 4\cos\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 0 = 0$.
- $y = r\sin\theta = 4\sin\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 1 = 4$.
- So the point is $(0, 4)$ — straight up the y-axis.
Convierte el punto polar $(4, \tfrac{\pi}{2})$ a coordenadas rectangulares.
- $x = r\cos\theta = 4\cos\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 0 = 0$.
- $y = r\sin\theta = 4\sin\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 1 = 4$.
- Así el punto es $(0, 4)$ — recto hacia arriba sobre el eje y.
Polar coordinates locate a point as $(r, \theta)$: a distance $r$ from the origin at angle $\theta$, plotted on a polar grid. Convert with $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Polar names are not unique — adding a full turn gives the same point.
Coordenadas polares ubican un punto como $(r, \theta)$: una distancia $r$ desde el origen en un ángulo $\theta$, trazado sobre una cuadrícula polar. Convierta con $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. Los nombres polares no son únicos —añadir una vuelta completa da el mismo punto.