Equivalent Trigonometric Expressions · Expresiones Trigonométricas Equivalentes
| English | Español |
|---|---|
| identity/aɪˈdentɪti/ | identidad |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | equivalente |
| Pythagorean identity/ˈpaɪθəɡɔːrɪən aɪˈdentɪti/ | identidad pitagórica |
| sine/saɪn/ | seno |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | coseno |
Two faces of the same expression
- The same trig quantity can be written in many equal-looking-but-different ways.
- $\sin^2\theta$ can become $1 - \cos^2\theta$; $\tan\theta$ can become $\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- These swaps are powered by identities — equations true for every angle.
- Choosing the right form turns a hard problem into an easy one.
Dos caras de la misma expresión
- Una misma cantidad trigonométrica puede escribirse de muchas formas que parecen iguales pero son diferentes.
- $\sin^2\theta$ puede convertirse en $1 - \cos^2\theta$; $\tan\theta$ puede convertirse en $\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- Estos cambios están impulsados por identidades — ecuaciones verdaderas para todo ángulo.
- Elegir la forma adecuada convierte un problema difícil en uno fácil.
What an identity is
- A trigonometric identity 恒等式 is an equation true for all valid angles.
- This is different from an equation you solve, which holds only at special angles.
- Two expressions linked by an identity are equivalent 等价 everywhere.
- So you can substitute one for the other whenever it helps.
Qué es una identidad
- Una identidad trigonométrica 恒等式 es una ecuación verdadera para todos los ángulos válidos.
- Esto es diferente de una ecuación que resuelves, la cual solo se cumple en ángulos especiales.
- Dos expresiones vinculadas por una identidad son equivalentes 等价 en todas partes.
- Por lo tanto, puedes sustituir una por la otra siempre que eso te ayude.
Watch the Pythagorean identity hold · Observa que se cumple la identidad pitagórica
For any angle, the point on the unit circle satisfies cos squared plus sin squared equals 1 — the master trig identity. · Para cualquier ángulo, el punto en el círculo unitario satisface cos² + sin² = 1 — la identidad trigonométrica fundamental.
A trigonometric identity is an equation that is true… · Una identidad trigonométrica es una ecuación que es verdadera…
An identity holds for all · todos valid inputs — unlike an equation you solve for particular values. · Una identidad se cumple para todos los valores válidos — a diferencia de una ecuación que resuelves para valores particulares.
The Pythagorean identity
- The master identity is the Pythagorean identity 勾股恒等式: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
- It comes straight from the unit circle, where $(\cos\theta, \sin\theta)$ has radius $1$.
- Rearranged, it gives $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ and $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$.
- Dividing by $\cos^2$ or $\sin^2$ produces the secant and cosecant versions.
La identidad pitagórica
- La identidad principal es la identidad pitagórica 勾股恒等式: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
- Proviene directamente del círculo unitario, donde $(\cos\theta, \sin\theta)$ tiene radio $1$.
- Reordenada, da $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ y $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$.
- Dividir entre $\cos^2$ o $\sin^2$ produce las versiones de secante y cosecante.
The · El Pythagorean identity states that… · La identidad pitagórica establece que…
Because a unit-circle point $(\cos\theta, \sin\theta)$ has radius $1$: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$. · Porque un punto del círculo unitario $(\cos\theta, \sin\theta)$ tiene radio $1$: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
Select all · todos true statements about trig identities. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre identidades trigonométricas.
An identity is true for all · todos angles, not just one. The other three are correct. · Una identidad es verdadera para todos los ángulos, no solo para uno. Las otras tres son correctas.
A toolbox of identities
- Reciprocal identities: $\sec = \tfrac{1}{\cos}$, and so on.
- Quotient identity: $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- Even/odd: $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, $\cos(-\theta) = \cos\theta$.
- Together they let you rewrite almost any trig expression in a new form.
Un kit de herramientas de identidades
- Identidades recíprocas: $\sec = \tfrac{1}{\cos}$, y así sucesivamente.
- Identidad cociente: $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- Par/impar: $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, $\cos(-\theta) = \cos\theta$.
- Juntas permiten reescribir casi cualquier expresión trigonométrica en una nueva forma.
If $\sin\theta = 0.6$, then from the Pythagorean identity $\cos^2\theta = 1 - 0.36 =$ ____. · Si $\sin\theta = 0.6$, entonces de la identidad pitagórica $\cos^2\theta = 1 - 0.36 =$ ____.
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$, so $\cos\theta = \pm 0.8$. · $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$, por lo tanto $\cos\theta = \pm 0.8$.
Identities let you rewrite a trig expression as an equivalent one that may be easier to work with. · Las identidades te permiten reescribir una expresión trigonométrica como otra equivalente que puede ser más fácil de manejar.
That is their main use: swap in an equal form to simplify an expression or solve an equation. · Esa es su función principal: sustituir por una forma igual para simplificar una expresión o resolver una ecuación.
Using identities
- To simplify, replace part of an expression with an equal form until it collapses.
- To solve an equation, rewrite everything in terms of one function (say, all sine).
- To verify an identity, transform one side until it matches the other.
- The sine 正弦 and cosine 余弦 forms are usually the safest to aim for.
Usando identidades
- Para simplificar, reemplaza parte de una expresión con una forma equivalente hasta que se colapse.
- Para resolver una ecuación, reescribe todo en términos de una sola función (por ejemplo, todo senos).
- Para verificar una identidad, transforma un lado hasta que coincida con el otro.
- Las formas de seno 正弦 y coseno 余弦 suelen ser las más seguras a las que apuntar.
An identity holds for all angles, so both sides must match everywhere — you cannot "prove" one by plugging in a single value. Testing $\theta = 0$ can disprove a false identity, but confirming one angle never proves a true one.
Una identidad se cumple para todos los ángulos, por lo que ambos lados deben coincidir en todas partes — no puedes "demostrar" una insertando un solo valor. Probar $\theta = 0$ puede refutar una identidad falsa, pero confirmar un solo ángulo nunca prueba que sea verdadera.
Given $\sin\theta = 0.6$ with $\theta$ acute, find $\cos\theta$.
- Pythagorean identity: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$.
- So $\cos\theta = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8$.
- Since $\theta$ is acute, cosine is positive: $\cos\theta = 0.8$.
Dado $\sin\theta = 0.6$ con $\theta$ agudo, encuentra $\cos\theta$.
- Identidad pitagórica: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$.
- Entonces $\cos\theta = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8$.
- Como $\theta$ es agudo, el coseno es positivo: $\cos\theta = 0.8$.
A trig identity is true for every angle, so it lets you swap an expression for an equivalent one. The master identity is the Pythagorean identity $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$; combined with the reciprocal and quotient identities, it rewrites any trig expression in sine and cosine form.
Una identidad trigonométrica es verdadera para cada ángulo, por lo que permite cambiar una expresión por una equivalente. La identidad principal es la identidad pitagórica $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$; combinada con las identidades recíprocas y cociente, reescribe cualquier expresión trigonométrica en la forma de seno y coseno.