Inverse Trigonometric Functions · Funciones Trigonométricas Inversas
| English | Español |
|---|---|
| sine/saɪn/ | seno |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverse |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | uno a uno |
| domain/dəˈmeɪn/ | dominio |
From a ratio back to an angle
- Sine turns an angle into a ratio; sometimes we need to run that backward.
- "Which angle has a sine of $0.5$?" is a question only an inverse can answer.
- Ramps, satellite dishes, and navigation all need the angle from a measured ratio.
- The inverse trig functions do exactly this reversal.
De una razón a un ángulo
- El seno convierte un ángulo en una razón; a veces necesitamos hacer el proceso inverso.
- "¿Qué ángulo tiene un seno de $0.5$?" es una pregunta que solo una función inversa puede responder.
- Las rampas, los platos satelitales y la navegación requieren conocer el ángulo a partir de una razón medida.
- Las funciones trigonométricas inversas hacen exactamente esta reversión.
What the inverse does
- The inverse 反函数 of sine, written $\arcsin$ or $\sin^{-1}$, takes a value and returns an angle.
- $\arcsin(0.5) = 30°$, because $\sin 30° = 0.5$.
- Likewise $\arccos$ and $\arctan$ reverse cosine and tangent.
- Each undoes its trig function, recovering the angle that produced a value.
Qué hace la inversa
- La función inversa del seno, escrita como $\arcsin$ o $\sin^{-1}$, toma un valor y devuelve un ángulo.
- $\arcsin(0.5) = 30°$, porque $\sin 30° = 0.5$.
- De igual manera, $\arccos$ y $\arctan$ invierten al coseno y a la tangente.
- Cada una deshace su función trigonométrica correspondiente, recuperando el ángulo que generó ese valor.
The inverse function $\arcsin$ (or $\sin^{-1}$) takes a value and returns… · La función inversa $\arcsin$ (o $\sin^{-1}$) toma un valor y devuelve…
The · El inverse of sine reverses it: $\arcsin(0.5)$ is the angle whose sine is $0.5$, namely $30°$. · La inversa del seno la invierte: $\arcsin(0.5)$ es el ángulo cuyo seno es $0.5$, es decir, $30°$.
Why we must restrict
- Sine is not one-to-one 一一对应: countless angles share the same sine value.
- If we reversed all of them, the "inverse" would give many answers at once — not a function.
- So we restrict the domain to one rising piece, from $-\tfrac{\pi}{2}$ to $\tfrac{\pi}{2}$.
- On that restricted domain 定义域, each output comes from exactly one angle.
Por qué debemos restringir
- El seno no es uno a uno: infinitos ángulos comparten el mismo valor de seno.
- Si intentáramos invertir todos ellos, la "inversa" daría muchas respuestas a la vez, lo cual no constituye una función.
- Por eso restringimos el dominio a un solo tramo creciente, desde $-\tfrac{\pi}{2}$ hasta $\tfrac{\pi}{2}$.
- En ese dominio restringido, cada salida proviene de exactamente un ángulo.
From a ratio back to an angle · De una razón a un ángulo
An inverse trig function answers the reverse question — given the sine or cosine value, which angle produced it? · Una función trigonométrica inversa responde la pregunta inversa: dado el valor del seno o coseno, ¿qué ángulo lo produjo?
Why must sine be restricted before it can have an inverse function? · ¿Por qué debe restringirse el seno antes de que pueda tener una función inversa?
Many angles share the same sine, so sine is not one-to-one. Restricting its domain fixes a single output per input. · Muchos ángulos comparten el mismo seno, por lo que el seno no es inyectivo. Restringir su dominio asegura una única salida por entrada.
What is $\arcsin(1)$ (in radians)? · ¿Cuál es $\arcsin(1)$ (en radianes)?
$\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$, so $\arcsin(1) = \tfrac{\pi}{2}$ — the angle in the restricted range. · $\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$, así que $\arcsin(1) = \tfrac{\pi}{2}$ — el ángulo en el rango restringido.
Select all · todos true statements about inverse trig functions. · Seleccione todas las afirmaciones verdaderas sobre las funciones trigonométricas inversas.
An inverse returns just one · uno angle (in the restricted range), not all of them. The other three are correct. · Una inversa devuelve solo un ángulo (en el rango restringido), no todos ellos. Las otras tres son correctas.
The inverse graphs
- Because they are inverses, the graphs reflect the restricted trig graphs across $y = x$.
- $\arcsin$ has domain $[-1, 1]$ (all valid sine 正弦 values) and range $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$.
- $\arccos$ has the same domain but range $[0, \pi]$.
- Their inputs are ratios; their outputs are angles.
Las gráficas inversas
- Al ser inversas, las gráficas reflejan las gráficas trigonométricas restringidas a través de $y = x$.
- $\arcsin$ tiene dominio $[-1, 1]$ (todos los valores de seno válidos) y rango $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$.
- $\arccos$ tiene el mismo dominio pero rango $[0, \pi]$.
- Sus entradas son razones; sus salidas son ángulos.
The graph of an inverse trig function is the restricted trig graph reflected across $y = x$. · La gráfica de una función trigonométrica inversa es la gráfica trigonométrica restringida reflejada a través de $y = x$.
As with any inverse, swapping input and output mirrors the graph across the line $y = x$. · Como con cualquier inversa, intercambiar la entrada y la salida refleja la gráfica a través de la línea $y = x$.
Reading a value
- To find $\arccos(0)$, ask "which angle in $[0,\pi]$ has cosine $0$?" — the answer is $\tfrac{\pi}{2}$.
- The inverse returns the one angle inside the restricted range, called the principal value.
- Other angles may also work, but the inverse function reports just one.
- Add full turns or use symmetry if you need the rest.
Leer un valor
- Para hallar $\arccos(0)$, pregúntese "¿qué ángulo en $[0,\pi]$ tiene coseno $0$?": la respuesta es $\tfrac{\pi}{2}$.
- La inversa devuelve el único ángulo dentro del rango restringido, llamado valor principal.
- Otros ángulos también podrían funcionar, pero la función inversa reporta solo uno.
- Añada giros completos o use simetrías si necesita encontrar los demás.
The inverse gives only the principal angle, not every solution. $\arcsin(0.5) = 30°$, but $150°$ also has sine $0.5$. When solving an equation you must find all the angles yourself — the inverse hands you just one.
La inversa proporciona únicamente el ángulo principal, no todas las soluciones. $\arcsin(0.5) = 30°$, pero $150°$ también tiene seno $0.5$. Al resolver una ecuación, usted debe encontrar todos los ángulos por cuenta propia; la función inversa le entrega solo uno.
A ramp rises $3$ m over a slope length of $6$ m. What angle does it make?
- The sine of the angle is $\tfrac{\text{rise}}{\text{slope}} = \tfrac{3}{6} = 0.5$.
- So the angle is $\arcsin(0.5) = 30°$.
- The inverse turned the measured ratio back into the angle we wanted.
Una rampa asciende $3$ m sobre una longitud de pendiente de $6$ m. ¿Qué ángulo forma?
- El seno del ángulo es $\tfrac{\text{rise}}{\text{slope}} = \tfrac{3}{6} = 0.5$.
- Por tanto, el ángulo es $\arcsin(0.5) = 30°$.
- La inversa convirtió la razón medida nuevamente al ángulo que buscábamos.
An inverse trig function returns an angle from a ratio: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. Since trig functions are not one-to-one, we restrict their domain first. The inverse graphs reflect the restricted sine/cosine/tangent across $y = x$, and report just the principal angle.
Una función trigonométrica inversa devuelve un ángulo a partir de una razón: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. Dado que las funciones trigonométricas no son uno a uno, primero restringimos su dominio. Las gráficas inversas reflejan el seno, coseno y tangente restringidos a través de $y = x$, y reportan únicamente el ángulo principal.