Trigonometric Equations and Inequalities · Ecuaciones e Inecuaciones Trigonométricas
| English | Español |
|---|---|
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverse |
| sine/saɪn/ | seno |
When does the wave hit a target?
- "At what times is the tide exactly $3$ m?" becomes a trig equation.
- Because the wave repeats, the answer is not one time but a whole rhythm of times.
- Solving means finding every angle where the function equals a target value.
- The unit circle and the period together deliver them all.
¿Cuándo golpea la onda a un objetivo?
- "¿A qué horas la marea es exactamente $3$ m?" se convierte en una ecuación trigonométrica.
- Como la onda se repite, la respuesta no es un solo tiempo, sino toda una serie de tiempos rítmicos.
- Resolver significa encontrar todos los ángulos donde la función toma el valor objetivo.
- El círculo unitario y el período juntos las proporcionan todas.
Finding the first solution
- To solve $\sin x = 0.5$, first find one angle with the inverse 反函数: $\arcsin(0.5) = \tfrac{\pi}{6}$.
- That gives a single "starter" solution inside the restricted range.
- For cosine or tangent, use $\arccos$ or $\arctan$ the same way.
- This first angle is the seed from which all others grow.
Encontrando la primera solución
- Para resolver $\sin x = 0.5$, primero encuentra un ángulo usando la función inversa: $\arcsin(0.5) = \tfrac{\pi}{6}$.
- Esto te da una única solución inicial dentro del rango restringido.
- Para el coseno o la tangente, usa $\arccos$ o $\arctan$ de la misma manera.
- Este primer ángulo es la semilla de la cual crecen todas las demás soluciones.
To find a first solution of $\sin x = 0.5$, you use… · Para encontrar una primera solución de $\sin x = 0.5$, usted usa…
The · El inverse gives one angle: $\arcsin(0.5) = 30°$ ($\tfrac{\pi}{6}$). Then use symmetry for the rest. · La inversa da un ángulo: $\arcsin(0.5) = 30°$ ($\tfrac{\pi}{6}$). Luego use la simetría para el resto.
Then find them all
- The sine 正弦 wave meets a horizontal target line once every cycle, forever.
- So a trig equation usually has infinitely many solutions.
- Use the symmetry of the graph to find the second solution within one period.
- Then add whole multiples of the period 周期 to generate the endless rest.
Luego encuentra todas ellas
- La onda seno cruza una línea horizontal objetivo una vez por ciclo, indefinidamente.
- Por lo tanto, una ecuación trigonométrica suele tener infinitas soluciones.
- Usa la simetría de la gráfica para encontrar la segunda solución dentro de un período.
- Luego suma múltiplos enteros del período para generar el resto infinito.
Every crossing is a solution · Cada intersección es una solución
y = sin x
The sine wave meets a horizontal target line again and again, so a trig equation has endlessly many solutions. · La onda seno se encuentra con una línea objetivo horizontal una y otra vez, por lo que una ecuación trigonométrica tiene infinitas soluciones.
Over all real numbers, $\sin x = 0.5$ has… · Sobre todos los números reales, $\sin x = 0.5$ tiene…
The wave meets the line $y = 0.5$ once every cycle, forever — infinitely many solutions. · La onda cruza la línea $y = 0.5$ una vez en cada ciclo, para siempre — infinitas soluciones.
To list every solution, add whole multiples of the ____ to a first solution. · Para listar todas las soluciones, agregue múltiplos enteros del ____ a una primera solución.
Because sine repeats, adding any multiple of its period · período ($2\pi$) gives another solution. · Como el seno se repite, sumar cualquier múltiplo de su período ($2\pi$) produce otra solución.
Select all · todos true statements about trig equations. · Seleccione todas las afirmaciones verdaderas sobre ecuaciones trigonométricas.
Sine is capped at $1$, so $\sin x = 5$ has no solution. The other three are correct. · El seno está acotado en $1$, así que $\sin x = 5$ no tiene solución. Las otras tres son correctas.
Inequalities
- A trig inequality like $\sin x > 0.5$ asks for the intervals where the wave is above a line.
- Solve the matching equation first to find the boundary angles.
- Then read off which arcs of the wave satisfy the inequality.
- The answer is a repeating set of intervals, one per period.
Desigualdades
- Una desigualdad trigonométrica como $\sin x > 0.5$ busca los intervalos donde la onda está por encima de una línea.
- Resuelve primero la ecuación correspondiente para encontrar los ángulos límite.
- Luego identifica qué arcos de la onda satisfacen la desigualdad.
- La respuesta es un conjunto repetitivo de intervalos, uno por cada período.
The equation · La ecuación $\sin x = 2$ has no solution. · La ecuación $\sin x = 2$ no tiene solución.
Sine never exceeds $1$, so $\sin x = 2$ can never happen — no solution exists. · El seno nunca excede $1$, por lo que $\sin x = 2$ nunca puede ocurrir — no existe solución.
When there is no solution
- Sine and cosine never leave $[-1, 1]$, so $\sin x = 2$ has no solution at all.
- Always check that the target value is reachable before solving.
- A tangent target, by contrast, is always reachable, since tangent is unbounded.
- Knowing each function's range saves you from chasing impossible answers.
Cuando no hay solución
- El seno y el coseno nunca salen del intervalo $[-1, 1]$, así que $\sin x = 2$ no tiene ninguna solución.
- Siempre verifica que el valor objetivo sea alcanzable antes de resolver.
- En contraste, un objetivo de tangente siempre es alcanzable, ya que la tangente no acotada.
- Conocer el rango de cada función te ahorrará perseguir respuestas imposibles.
Do not report just the calculator's one answer. $\arcsin(0.5)$ gives $\tfrac{\pi}{6}$, but $\sin x = 0.5$ also holds at $\tfrac{5\pi}{6}$ and at every $+2\pi$ beyond both. A trig equation almost always has more solutions than the inverse alone reveals.
No reportes solo la única respuesta de la calculadora. $\arcsin(0.5)$ da $\tfrac{\pi}{6}$, pero $\sin x = 0.5$ también se cumple en $\tfrac{5\pi}{6}$ y en todos los valores $+2\pi$ más allá de ambos. Una ecuación trigonométrica casi siempre tiene más soluciones que las que revela la inversa sola.
Solve $\cos x = 0$ for all $x$.
- One solution: $\arccos(0) = \tfrac{\pi}{2}$.
- Cosine is also $0$ at $\tfrac{3\pi}{2}$ — that is $\tfrac{\pi}{2} + \pi$.
- So the full solution is $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ for every integer $k$.
Resuelve $\cos x = 0$ para todo $x$.
- Una solución: $\arccos(0) = \tfrac{\pi}{2}$.
- El coseno también es $0$ en $\tfrac{3\pi}{2}$ — esto es $\tfrac{\pi}{2} + \pi$.
- Así que la solución completa es $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ para todo entero $k$.
To solve a trig equation, use the inverse for a first angle, then the graph's symmetry and the period to list every solution — often infinitely many. Check the target is within the function's range first (sine and cosine cannot exceed $1$). Inequalities give repeating intervals.
Para resolver una ecuación trigonométrica, usa la función inversa para obtener un primer ángulo, luego usa la simetría de la gráfica y el período para listar cada solución — a menudo son infinitas. Verifica primero que el objetivo esté dentro del rango de la función (el seno y el coseno no pueden exceder $1$). Las desigualdades dan intervalos repetitivos.