The Tangent Function · La Función Tangente
| English | Español |
|---|---|
| tangent/ˈtændʒənt/ | tangente |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | asíntota vertical |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
A wave that breaks
- Sine and cosine roll along smoothly, forever bounded between $-1$ and $1$.
- The tangent function is wilder: it shoots up to infinity, then restarts.
- Its graph is a chain of separate branches, each broken by an invisible wall.
- Understanding why it breaks reveals how it is built from sine and cosine.
Una onda que se rompe
- El seno y el coseno avanzan suavemente, acotados para siempre entre $-1$ y $1$.
- La función tangente es más salvaje: asciende hacia el infinito y luego se reinicia.
- Su gráfica es una cadena de ramas separadas, cada una interrumpida por un muro invisible.
- Entender por qué se rompe revela cómo está construida a partir del seno y el coseno.
Tangent is a ratio
- The tangent 正切 is defined as $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
- On the unit circle it is the slope of the line from the origin to the point.
- Where sine is $0$, tangent is $0$ (the branches cross the axis).
- Where cosine is $0$, the ratio divides by zero — and that is where it breaks.
La tangente es una razón
- La tangente 正切 se define como $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
- En la circunferencia unitaria es la pendiente de la línea que va desde el origen hasta el punto.
- Donde el seno es $0$, la tangente también es $0$ (las ramas cruzan el eje).
- Donde el coseno es $0$, la razón se divide por cero — y ahí es donde se rompe.
The tangent function equals… · La función tangente es igual a…
By definition, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ — sine over cosine. · Por definición, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ — seno sobre coseno.
What is $\tan 0$? · ¿Cuál es $\tan 0$?
$\tan 0 = \dfrac{\sin 0}{\cos 0} = \dfrac{0}{1} = 0$.
Asymptotes where cosine vanishes
- A vertical asymptote 竖直渐近线 appears wherever $\cos x = 0$.
- That happens at $x = \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2}, \dots$ — every half-turn.
- Approaching an asymptote, the output races off to $+\infty$ or $-\infty$.
- The graph never crosses these walls; it just climbs steeply beside them.
Asíntotas donde el coseno se anula
- Aparece una asíntota vertical 竖直渐近线 en cualquier lugar donde $\cos x = 0$.
- Esto ocurre en $x = \tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3\pi}{2}, \dots$ — cada media vuelta.
- Al acercarse a una asíntota, la salida se dispara hacia $+\infty$ o $-\infty$.
- La gráfica nunca cruza estos muros; simplemente sube con mucha pendiente a su lado.
Tangent as a slope that runs away · Tangente como una pendiente que se aleja
On the unit circle, tangent is the slope of the radius line. As the angle nears 90 degrees, that slope shoots toward infinity. · En el círculo unitario, la tangente es la pendiente de la línea del radio. A medida que el ángulo se acerca a 90 grados, esa pendiente tiende hacia el infinito.
The tangent function has a vertical asymptote wherever… · La función tangente tiene una asíntota vertical siempre que…
Where · Dónde $\cos x = 0$, the fraction $\tfrac{\sin x}{\cos x}$ divides by zero — a vertical asymptote. · Donde $\cos x = 0$, la fracción $\tfrac{\sin x}{\cos x}$ divide por cero — una asíntota vertical.
Select all · todos true statements about $y = \tan x$. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre $y = \tan x$.
Unlike sine and cosine, tangent is unbounded — it shoots to $\pm\infty$. The other three are correct. · A diferencia del seno y el coseno, la tangente no está acotada — tiende a $\pm\infty$. Las otras tres son correctas.
A shorter period
- Sine and cosine repeat every $2\pi$, but the period 周期 of tangent is just $\pi$.
- So tangent completes a full cycle twice as often.
- Within each period it climbs steadily from $-\infty$ up to $+\infty$.
- One branch spans from one asymptote to the next.
Un periodo más corto
- El seno y el coseno se repiten cada $2\pi$, pero el periodo 周期 de la tangente es solo $\pi$.
- Por lo tanto, la tangente completa un ciclo completo dos veces más a menudo.
- Dentro de cada periodo asciende constantemente desde $-\infty$ hasta $+\infty$.
- Una rama abarca desde una asíntota hasta la siguiente.
Unlike sine and cosine, the tangent function has period ____ (not $2\pi$). · A diferencia del seno y el coseno, la función tangente tiene un periodo de ____ (no $2\pi$).
Tangent repeats every $\pi$ — twice as often as sine or cosine. · La tangente se repite cada $\pi$ — el doble de frecuencia que el seno o el coseno.
Unbounded output
- Unlike sine and cosine, tangent has no maximum or minimum.
- Its range is all real numbers — it reaches every height.
- Near an asymptote it grows without limit; at the middle of a branch it is $0$.
- This unbounded, repeating shape models steepness and angles of elevation.
Salida no acotada
- A diferencia del seno y el coseno, la tangente no tiene máximo ni mínimo.
- Su rango son todos los números reales — alcanza todas las alturas.
- Cerca de una asíntota crece sin límite; en el medio de una rama es $0$.
- Esta forma no acotada y repetitiva modela la inclinación y los ángulos de elevación.
Tangent is undefined at its asymptotes — $\tan\tfrac{\pi}{2}$ has no value, because $\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$ and you cannot divide by zero. Do not try to plug those angles in; the function simply does not exist there.
La tangente está indeterminada en sus asíntotas — $\tan\tfrac{\pi}{2}$ no tiene valor, porque $\cos\tfrac{\pi}{2} = 0$ y no se puede dividir por cero. No intentes sustituir esos ángulos; la función simplemente no existe allí.
Find $\tan\tfrac{\pi}{4}$ and explain why $\tan\tfrac{\pi}{2}$ is undefined.
- $\tan\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = \dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = 1$.
- $\tan\tfrac{\pi}{2} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)} = \dfrac{1}{0}$, which is undefined.
- So $x = \tfrac{\pi}{2}$ is a vertical asymptote, not a point on the graph.
Encuentra $\tan\tfrac{\pi}{4}$ y explica por qué $\tan\tfrac{\pi}{2}$ está indeterminada.
- $\tan\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)} = \dfrac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = 1$.
- $\tan\tfrac{\pi}{2} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)} = \dfrac{1}{0}$, lo cual está indeterminado.
- Por lo tanto, $x = \tfrac{\pi}{2}$ es una asíntota vertical, no un punto en la gráfica.
The tangent function is $\tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x}$. It has a vertical asymptote wherever $\cos x = 0$, a period of $\pi$ (not $2\pi$), and an unbounded range — each branch climbs from $-\infty$ to $+\infty$ and repeats.
La función tangente es $\tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x}$. Tiene una asíntota vertical 竖直渐近线 en cualquier lugar donde $\cos x = 0$, un periodo 周期 de $\pi$ (no $2\pi$), y un rango no acotado — cada rama asciende desde $-\infty$ hasta $+\infty$ y se repite.