Modeling with Sinusoidal Functions · Modelado con funciones sinusoidales
| English | Español |
|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitud |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | línea central |
| sinusoidal model/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈmɒdl/ | modelo sinusoidal |
| sinusoidal regression/ˌsaɪnəˈsɔɪdl rɪˈɡreʃn/ | regresión sinusoidal |
Predicting the tides
- Tide charts, daily temperatures, and hours of daylight all rise and fall on a cycle.
- To forecast the next high tide, we fit a sine wave to past measurements.
- The four sinusoid dials — amplitude, period, midline, shift — get read straight from the data.
- Once fitted, the model predicts every future cycle.
Predecir las mareas
- Las tablas de mareas, las temperaturas diarias y las horas de luz solar suben y bajan en un ciclo.
- Para predecir la próxima marea alta, ajustamos una onda senoidal a las mediciones pasadas.
- Los cuatro perillas sinusoidales — amplitud, período, línea media, desplazamiento — se leen directamente de los datos.
- Una vez ajustado, el modelo predice cada ciclo futuro.
Reading the model from data
- A sinusoidal model 正弦型模型 is $y = a\sin(b(x - c)) + d$ fitted to periodic data.
- The midline 中线 $d$ is the average of the highest and lowest values.
- The amplitude 振幅 $|a|$ is half the distance between the high and the low.
- These two come straight from the peaks and troughs of the data.
Leer el modelo a partir de los datos
- Un modelo sinusoidal es $y = a\sin(b(x - c)) + d$ ajustado a datos periódicos.
- La línea media $d$ es el promedio de los valores más altos y más bajos.
- La amplitud $|a|$ es la mitad de la distancia entre el máximo y el mínimo.
- Estos dos valores provienen directamente de los picos y valles de los datos.
A sinusoidal model is the right choice for data that… · Un modelo sinusoidal es la elección adecuada para datos que…
Repeating highs and lows — tides, temperatures, daylight hours — call for a sinusoidal model. · Máximos y mínimos repetidos — mareas, temperaturas, horas de luz solar — requieren un modelo sinusoidal.
Period and shift from data
- The period 周期 is how long one full cycle takes; then $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- The phase shift $c$ lines the wave up with when the data first peaks.
- Tides repeat about every $12.4$ hours; a year of temperatures repeats every $12$ months.
- Match the cycle length and the model locks onto the rhythm.
Período y desplazamiento a partir de los datos
- El período es cuánto tiempo tarda un ciclo completo; entonces $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- El desplazamiento de fase $c$ alinea la onda con el momento en que los datos alcanzan su primer pico.
- Las mareas se repiten aproximadamente cada $12.4$ horas; una temperatura anual se repite cada $12$ meses.
- Coincidir la longitud del ciclo hace que el modelo se ajuste al ritmo.
Tune a sinusoid to match periodic data · Ajustar una sinusoidal para que coincida con datos periódicos
y = a·sin(b(x − c)) + d
Set the midline d and amplitude a from the data's high and low, then set b from the period until the wave fits. · Establecer la línea media d y la amplitud a a partir del máximo y mínimo de los datos, luego ajustar b según el período hasta que la onda se ajuste.
The midline of a fitted sinusoid is the ____ of the highest and lowest data values. · La línea media de una sinusoidal ajustada es el ____ de los valores máximos y mínimos de los datos.
Midline $= \dfrac{\text{max} + \text{min}}{2}$; the amplitude · amplitud is half the distance between them. · Línea media $= \dfrac{\text{max} + \text{min}}{2}$; la amplitud es la mitad de la distancia entre ellas.
Tides run from a low of $1$ m to a high of $5$ m. What is the amplitude? · Las mareas oscilan desde un mínimo de $1$ m hasta un máximo de $5$ m. ¿Cuál es la amplitud?
Amplitude · Amplitud $= \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ m — half the total swing. · Amplitud $= \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ m — la mitad del movimiento total.
Select all · todos true statements about sinusoidal models. · Seleccione todas las afirmaciones verdaderas sobre modelos sinusoidales.
Sinusoids repeat; they do not fit unbounded growth. The other three are correct. · Las sinusoides se repiten; no se ajustan a un crecimiento ilimitado. Las otras tres son correctas.
Sinusoidal regression
- With many data points, use technology to run a sinusoidal regression 正弦型回归.
- It returns the best-fit $a, b, c, d$ all at once.
- The curve threads the data's cycle without hitting every point exactly.
- The result is a ready-to-use periodic formula.
Regresión sinusoidal
- Con muchos puntos de datos, utilice tecnología para ejecutar una regresión sinusoidal.
- Devuelve los mejores ajustes de $a, b, c, d$ todos a la vez.
- La curva atraviesa el ciclo de los datos sin tocar exactamente cada punto.
- El resultado es una fórmula periódica lista para usar.
Technology can compute a sinusoidal regression to fit periodic data. · La tecnología puede calcular una regresión sinusoidal para ajustar datos periódicos.
A sinusoidal regression returns the best-fit $a, b, c, d$ for a data set, just like other regressions. · Una regresión sinusoidal devuelve los mejores ajustes $a, b, c, d$ para un conjunto de datos, al igual que otras regresiones.
Using the model
- Plug in a future input to predict, say, the tide height at 3 p.m. tomorrow.
- Because it repeats, one well-fitted cycle forecasts them all.
- Keep the domain sensible — the pattern holds only while conditions stay steady.
- Interpret each parameter: amplitude is the tidal range, midline is the mean level.
Usar el modelo
- Introduzca una entrada futura para predecir, por ejemplo, la altura de la marea a las 3 p.m. de mañana.
- Como se repite, un solo ciclo bien ajustado pronostica todos ellos.
- Mantenga el dominio razonable — el patrón solo se mantiene mientras las condiciones permanezcan estables.
- Interprete cada parámetro: la amplitud es el rango de marea, la línea media es el nivel medio.
A sinusoidal model only fits data that genuinely repeats. Do not force one onto data that trends upward overall — a rising, wobbling series needs a trend plus a wave, not a pure sinusoid.
Un modelo sinusoidal solo se ajusta a datos que verdaderamente se repiten. No lo fuerce sobre datos que tienen una tendencia general al alza — una serie creciente con fluctuaciones necesita una tendencia más una onda, no una senoidal pura.
A harbour's tide is low ($1$ m) at midnight and high ($5$ m) six hours later.
- Midline $d = \tfrac{1 + 5}{2} = 3$ m; amplitude $|a| = \tfrac{5 - 1}{2} = 2$ m.
- Low-to-high is half a cycle in $6$ h, so the period is $12$ h and $b = \tfrac{2\pi}{12}$.
- Model: $h = 3 - 2\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{12}t\right)$, starting low at $t = 0$.
La marea de un puerto está baja ($1$ m) a medianoche y alta ($5$ m) seis horas después.
- Línea media $d = \tfrac{1 + 5}{2} = 3$ m; amplitud $|a| = \tfrac{5 - 1}{2} = 2$ m.
- De baja a alta es medio ciclo en $6$ h, por lo tanto el período es $12$ h y $b = \tfrac{2\pi}{12}$.
- Modelo: $h = 3 - 2\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{12}t\right)$, comenzando bajo en $t = 0$.
A sinusoidal model $y = a\sin(b(x-c)) + d$ fits repeating data: the midline is the average of high and low, the amplitude is half their gap, and the period is one cycle's length. A sinusoidal regression finds the best fit for you.
Un modelo sinusoidal $y = a\sin(b(x-c)) + d$ se ajusta a datos que se repiten: la línea media es el promedio del máximo y el mínimo, la amplitud es la mitad de su diferencia, y el período es la longitud de un ciclo. Una regresión sinusoidal encuentra el mejor ajuste para usted.