Transformations of Sinusoidal Functions · Transformaciones de funciones sinusoidales
| English | Español |
|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitud |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | línea central |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
| phase shift/feɪz ʃɪft/ | desfase |
| sinusoidal function/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈfʌŋkʃn/ | función sinusoidal |
Bending the parent wave
- The parent $\sin x$ is fixed, but real waves are taller, faster, and shifted.
- Four transformations reshape it into any sinusoid you need.
- Two act vertically (on the output), two act horizontally (on the input).
- Learn what each dial does, and you can graph or write any wave.
Deformar la onda padre
- La onda padre $\sin x$ es fija, pero las ondas reales son más altas, más rápidas y están desplazadas.
- Cuatro transformaciones la reconfiguran en cualquier sinusoid que necesites.
- Dos actúan verticalmente (sobre la salida), dos actúan horizontalmente (sobre la entrada).
- Aprende qué hace cada perilla y podrás graficar o escribir cualquier onda.
Vertical changes
- Multiplying by $a$ stretches the wave vertically: the amplitude 振幅 becomes $|a|$.
- A negative $a$ also flips the wave upside down.
- Adding $d$ raises or lowers the whole wave, setting the midline 中线 to $y = d$.
- Together these fix the peak ($d + |a|$) and trough ($d - |a|$).
Cambios verticales
- Multiplicar por $a$ estira la onda verticalmente: la amplitud 振幅 se convierte en $|a|$.
- Un $a$ negativo también voltea la onda boca abajo.
- Sumar $d$ eleva o baja toda la onda, estableciendo la línea media 中线 en $y = d$.
- Juntos estos fijan el pico ($d + |a|$) y el valle ($d - |a|$).
Increasing $|a|$ in · hacia adentro $y = a\sin(bx) + d$ makes the wave… · Aumentar $|a|$ en $y = a\sin(bx) + d$ hace que la onda…
$|a|$ is the amplitude · amplitud, so a larger $|a|$ stretches the wave taller. · $|a|$ es la amplitud, por lo que un valor mayor de $|a|$ estira la onda hacia arriba.
Increasing $d$ in · hacia adentro $y = a\sin(bx) + d$ … · Aumentar $d$ en $y = a\sin(bx) + d$ …
$d$ is the midline level, so adding to it lifts the whole wave up. · $d$ es el nivel de la línea media, por lo que sumarle eleva toda la onda hacia arriba.
Horizontal changes
- The factor $b$ squeezes the wave horizontally: the period 周期 becomes $\tfrac{2\pi}{b}$.
- A bigger $b$ means faster cycling — more waves in the same space.
- The constant $c$ produces a phase shift 相位平移, sliding the wave left or right.
- As always, $(x - c)$ moves the graph right by $c$.
Cambios horizontales
- El factor $b$ comprime la onda horizontalmente: el período 周期 se convierte en $\tfrac{2\pi}{b}$.
- Un $b$ mayor significa ciclos más rápidos — más ondas en el mismo espacio.
- La constante $c$ produce un desplazamiento de fase 相位平移, deslizando la onda a la izquierda o derecha.
- Como siempre, $(x - c)$ mueve la gráfica hacia la derecha en $c$.
Stretch, shift, and lift a sine wave · Estira, desplaza y eleva una onda senoidal
y = a·sin(b(x − c)) + d
Grow a to raise the amplitude, grow b to shorten the period, change c to slide sideways, and change d to raise the midline. · Aumenta a para elevar la amplitud, aumenta b para acortar el período, cambia c para desplazar lateralmente y cambia d para elevar la línea media.
For · A favor $y = \sin(3x)$, what is the period? (Use $\pi \approx 3.14$; give the value of $2\pi/3$.) · Para $y = \sin(3x)$, ¿cuál es el periodo? (Usa $\pi \approx 3.14$; da el valor de $2\pi/3$.)
Period · Período $= \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.09$ — tripling $b$ shrinks the period to a third. · Periodo $= \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.09$ — triplicar $b$ reduce el periodo a un tercio.
The constant $c$ inside $\sin(b(x - c))$ produces a horizontal ____ shift. · La constante $c$ dentro de $\sin(b(x - c))$ produce un desplazamiento horizontal ____.
A phase shift slides the wave left or right without changing its shape. · Un desplazamiento de fase desliza la onda hacia la izquierda o derecha sin cambiar su forma.
Combining all four
- A full sinusoidal function 正弦型函数 uses all four at once: $y = a\sin(b(x-c)) + d$.
- Apply them in a sensible order: stretch, then shift.
- Each parameter acts independently, so you can read them off one at a time.
- The same four transform a cosine identically.
Combinando los cuatro
- Una función sinusoidal 正弦型 función completa usa los cuatro a la vez: $y = a\sin(b(x-c)) + d$.
- Aplícalos en un orden lógico: estirar, luego desplazar.
- Cada parámetro actúa de forma independiente, así que puedes leerlos uno a la vez.
- Los mismos cuatro transforman una coseno idénticamente.
Match each parameter of $y = a\sin(b(x-c)) + d$. Select all · todos correct. · Asocia cada parámetro de $y = a\sin(b(x-c)) + d$. Selecciona todos los correctos.
$c$ controls the phase shift, not amplitude. The other three are correct. · $c$ controla el desplazamiento de fase, no la amplitud. Los otros tres son correctos.
Reading a transform from a graph
- Measure the midline: average the highest and lowest points → that is $d$.
- Measure the amplitude: half the distance from peak to trough → that is $|a|$.
- Measure the period: the horizontal length of one cycle → gives $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- Find where a cycle "starts" to read the phase shift $c$.
Leer una transformación desde una gráfica
- Mide la línea media: promedia los puntos más altos y más bajos → eso es $d$.
- Mide la amplitud: la mitad de la distancia del pico al valle → eso es $|a|$.
- Mide el período: la longitud horizontal de un ciclo completo → da $b = \tfrac{2\pi}{\text{period}}$.
- Encuentra dónde "empieza" un ciclo para leer el desplazamiento de fase $c$.
Amplitude and midline come from outside the sine (they scale and lift the output); period and phase shift come from inside (they act on the input). Mixing up inside and outside — especially the backwards horizontal shift — is the classic sinusoid error.
La amplitud y la línea media provienen de fuera del seno (escalan y elevan la salida); el período y el desplazamiento de fase provienen de dentro (actúan sobre la entrada). Confundir lo de adentro con lo de afuera —especialmente el desplazamiento horizontal inverso— es el error clásico de la sinusoid.
Describe the transformations in $y = 4\sin\!\big(2(x - 1)\big) + 3$.
- Amplitude $|a| = 4$; midline $y = 3$; so it swings between $-1$ and $7$.
- Period $= \tfrac{2\pi}{2} = \pi$.
- Phase shift: right by $1$ (from the $x - 1$ inside).
Describe las transformaciones en $y = 4\sin\!\big(2(x - 1)\big) + 3$.
- Amplitud $|a| = 4$; línea media $y = 3$; por lo tanto, oscila entre $-1$ y $7$.
- Período $= \tfrac{2\pi}{2} = \pi$.
- Desplazamiento de fase: hacia la derecha en $1$ (debido al $x - 1$ dentro).
Transform the parent sine with four dials: $a$ sets the amplitude, $d$ the midline, $b$ the period ($\tfrac{2\pi}{b}$), and $c$ the phase shift. Outside-the-sine values act vertically; inside values act horizontally and run backwards.
Transforma la función seno padre con cuatro controles: $a$ ajusta la amplitud, $d$ la línea media, $b$ el período ($\tfrac{2\pi}{b}$), y $c$ el desfase. Los valores fuera del seno actúan verticalmente; los valores dentro actúan horizontalmente y en sentido inverso.