Sinusoidal Functions · Funciones Sinusoidales
| English | Español |
|---|---|
| sinusoidal function/ˌsaɪnəˈsɔɪdl ˈfʌŋkʃn/ | función sinusoidal |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitud |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | línea central |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
| phase shift/feɪz ʃɪft/ | desfase |
One wave, four dials
- The parent sine wave is fixed, but real waves come in every size and speed.
- Four numbers let you reshape it: taller or shorter, faster or slower, shifted up or sideways.
- Master those four and you can match any smooth periodic curve.
- This flexible family is called the sinusoidal functions.
Una onda, cuatro perillas
- La onda seno padre está fija, pero las ondas reales vienen en todos los tamaños y velocidades.
- Cuatro números permiten remodelarla: más alta o más baja, más rápida o más lenta, desplazada hacia arriba o hacia los lados.
- Domina esos cuatro y podrás igualar cualquier curva periódica suave.
- A esta familia flexible se le llama funciones sinusoidales.
The general form
- A sinusoidal function 正弦型函数 is $y = a\sin(b(x - c)) + d$.
- The amplitude 振幅 is $|a|$ — how far the wave rises above and below its centre.
- The midline 中线 is $y = d$ — the horizontal line the wave oscillates around.
- Cosine fits the same template; the two are interchangeable with a shift.
La forma general
- Una función sinusoidal es $y = a\sin(b(x - c)) + d$.
- La amplitud es $|a|$ — la distancia que la onda sube y baja respecto a su centro.
- La línea media es $y = d$ — la línea horizontal alrededor de la cual oscila la onda.
- El coseno encaja en el mismo esquema; las dos son intercambiables con un desplazamiento.
In $y = a\sin(b(x - c)) + d$, the amplitude · amplitud is… · En $y = a\sin(b(x - c)) + d$, la amplitud es…
The coefficient $a$ stretches the wave vertically, so the amplitude · amplitud is $|a|$. · El coeficiente $a$ estira la onda verticalmente, por lo que la amplitud es $|a|$.
In $y = a\sin(b(x - c)) + d$, the midline is the line $y =$ ____. · En $y = a\sin(b(x - c)) + d$, la línea media es la recta $y =$ ____.
Adding $d$ shifts the whole wave up, so the midline sits at $y = d$. · Al sumar $d$, toda la onda se desplaza hacia arriba, por lo que la línea media queda en $y = d$.
Amplitude and midline
- Change $a$ to stretch the wave taller or squash it flatter (or flip it if $a < 0$).
- Change $d$ to slide the whole wave up or down to a new midline.
- The maximum is $d + |a|$ and the minimum is $d - |a|$.
- So $a$ and $d$ together fix the top and bottom of the wave.
Amplitud y línea media
- Cambia $a$ para estirar la onda hacia arriba o aplastarla (o voltearla si $a < 0$).
- Cambia $d$ para deslizar toda la onda hacia arriba o hacia abajo hasta una nueva línea media.
- El máximo es $d + |a|$ y el mínimo es $d - |a|$.
- Así que $a$ y $d$ juntos fijan la parte superior e inferior de la onda.
Reshape a sinusoid with four controls · Reconfigura una sinusoidal con cuatro controles
y = a·sin(b(x − c)) + d
a sets the amplitude, b sets the period, c shifts it sideways, and d sets the midline. Change each and watch. · a establece la amplitud, b establece el período, c la desplaza horizontalmente y d establece la línea media. Cambia cada uno y observa.
The · El period · período of $y = a\sin(b x) + d$ is… · El período de $y = a\sin(b x) + d$ es…
The factor $b$ compresses the wave horizontally, so the period · período shrinks to $\dfrac{2\pi}{b}$. · El factor $b$ comprime la onda horizontalmente, por lo que el período se reduce a $\dfrac{2\pi}{b}$.
What is the period of $y = \sin(2x)$? (Use $\pi \approx 3.14$.) · ¿Cuál es el período de $y = \sin(2x)$? (Usa $\pi \approx 3.14$.)
Period · Período $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14$ — doubling $b$ halves the period. · Período $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi \approx 3.14$ — al duplicar $b$, el período se reduce a la mitad.
Period from b
- The number $b$ controls how quickly the wave cycles.
- The period 周期 is $\dfrac{2\pi}{b}$ — a bigger $b$ packs cycles closer together.
- So $y = \sin(2x)$ repeats twice as fast, with period $\pi$.
- Frequency (cycles per unit) is the reciprocal of the period.
Periodo desde b
- El número $b$ controla qué tan rápido oscila la onda.
- El periodo es $\dfrac{2\pi}{b}$ — un $b$ mayor agrupa los ciclos más cerca unos de otros.
- Por lo tanto, $y = \sin(2x)$ se repite el doble de rápido, con periodo $\pi$.
- La frecuencia (ciclos por unidad) es el recíproco del periodo.
In $y = a\sin(b(x - c)) + d$, match each role. Select all · todos correct. · En $y = a\sin(b(x - c)) + d$, empareja cada función. Selecciona todos los correctos.
$b$ controls the period, not the amplitude. A phase shift of $c$ slides the wave sideways. The other three are correct. · $b$ controla el período, no la amplitud. Un desplazamiento de fase de $c$ desliza la onda horizontalmente. Los otros tres son correctos.
Phase shift from c
- The value $c$ slides the wave left or right — a phase shift 相位平移.
- Inside the function, $(x - c)$ moves the graph right by $c$ (the usual backwards rule).
- A phase shift lets a sine model line up with data that peaks at a chosen time.
- Together $a, b, c, d$ pin down any sinusoid exactly.
Desplazamiento de fase desde c
- El valor $c$ desliza la onda hacia la izquierda o derecha — un desplazamiento de fase.
- Dentro de la función, $(x - c)$ mueve la gráfica hacia la derecha en $c$ (la regla habitual inversa).
- Un desplazamiento de fase permite que un modelo de seno coincida con datos que alcanzan su pico en un momento elegido.
- Juntos $a, b, c, d$ determinan exactamente cualquier senoidal.
Remember $b$ sets the period, not the amplitude, and it works inversely: a larger $b$ gives a shorter period. And the shift $(x - c)$ moves the graph right, not left — the inside-the-function reversal trips many students.
Recuerda que $b$ establece el periodo, no la amplitud, y funciona de manera inversa: un $b$ más grande da un periodo más corto. Y el desplazamiento $(x - c)$ mueve la gráfica hacia la derecha, no hacia la izquierda — la inversión dentro de la función confunde a muchos estudiantes.
Describe $y = 3\sin(2x) + 5$.
- Amplitude $|a| = 3$; midline $y = 5$; so it swings between $2$ and $8$.
- Period $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ — one cycle every $\pi$ units.
- No phase shift ($c = 0$), so it starts a cycle at $x = 0$ on the midline, rising.
Describe $y = 3\sin(2x) + 5$.
- Amplitud $|a| = 3$; línea media $y = 5$; por lo tanto, oscila entre $2$ y $8$.
- Periodo $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ — un ciclo cada $\pi$ unidades.
- Sin desplazamiento de fase ($c = 0$), así que comienza un ciclo en $x = 0$ sobre la línea media, ascendiendo.
A sinusoidal function $y = a\sin(b(x-c)) + d$ has amplitude $|a|$, midline $y = d$, period $\dfrac{2\pi}{b}$, and a phase shift of $c$. These four numbers reshape the parent wave to fit any smooth periodic pattern.
Una función sinusoidal $y = a\sin(b(x-c)) + d$ tiene amplitud $|a|$, línea media $y = d$, periodo $\dfrac{2\pi}{b}$, y un desplazamiento de fase de $c$. Estos cuatro números remodelan la onda padre para ajustarse a cualquier patrón periódico suave.