Graphs of Sine and Cosine · Gráficas de Seno y Coseno
| English | Español |
|---|---|
| sine/saɪn/ | seno |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | coseno |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | amplitud |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | línea central |
Unrolling the circle into a wave
- Imagine the point spinning around the unit circle, and track just its height over time.
- Plot that height against the angle, and a smooth wave appears.
- That wave is the graph of sine — the circle unrolled.
- Cosine is the same idea, tracking the horizontal coordinate instead.
Desenrollar el círculo en una onda
- Imagina un punto girando alrededor del círculo unitario y sigue solo su altura a lo largo del tiempo.
- Grafica esa altura contra el ángulo, y aparecerá una onda suave.
- Esa onda es la gráfica de la función seno: el círculo desenrollado.
- El coseno es la misma idea, pero siguiendo la coordenada horizontal en lugar de la vertical.
The sine graph
- The sine 正弦 graph $y = \sin x$ starts at $0$, rises to $1$, falls through $0$ to $-1$, then returns.
- One full cycle takes $2\pi$ before the pattern repeats.
- It swings a fixed distance above and below the horizontal axis.
- The result is the classic smooth, rolling wave.
La gráfica del seno
- La gráfica del seno 正弦 $y = \sin x$ comienza en $0$, sube hasta $1$, desciende pasando por $0$ hasta $-1$, y luego vuelve a subir.
- Un ciclo completo dura $2\pi$ antes de que el patrón se repita.
- Oscila una distancia fija por encima y por debajo del eje horizontal.
- El resultado es la clásica onda suave y ondulante.
Trace the sine wave · Trazar la onda senoidal
y = a·sin(b(x − c)) + d
This is the parent sine wave — amplitude 1, midline y = 0, and period 2π. Watch it repeat. · Esta es la función seno padre — amplitud 1, línea media y = 0, y período 2π. Observa cómo se repite.
The parent sine graph $y = \sin x$ starts (at $x = 0$) at height… · La gráfica seno padre $y = \sin x$ comienza (en $x = 0$) a una altura…
Since $\sin 0 = 0$, the sine wave begins at the midline and rises to its peak of $1$. · Dado que $\sin 0 = 0$, la onda senoidal comienza en la línea media y sube hasta su máximo de $1$.
The cosine graph
- The cosine 余弦 graph $y = \cos x$ has the exact same shape.
- But it starts at its peak $1$ (since $\cos 0 = 1$), a quarter-period ahead of sine.
- In fact, $\cos x = \sin\!\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)$ — cosine is sine shifted left.
- So learning one wave essentially gives you both.
La gráfica del coseno
- La gráfica del coseno 余弦 $y = \cos x$ tiene exactamente la misma forma.
- Pero comienza en su pico $1$ (ya que $\cos 0 = 1$), un cuarto de período por delante del seno.
- De hecho, $\cos x = \sin\!\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)$: el coseno es el seno desplazado hacia la izquierda.
- Por lo tanto, aprender una onda esencialmente te da ambas.
The parent cosine graph $y = \cos x$ starts (at $x = 0$) at height… · La gráfica coseno padre $y = \cos x$ comienza (en $x = 0$) a una altura…
Since $\cos 0 = 1$, cosine starts at its maximum — a quarter-period ahead of sine. · Dado que $\cos 0 = 1$, el coseno comienza en su máximo — un cuarto de período adelantado respecto al seno.
Select all · todos true statements about $y = \sin x$ and · y $y = \cos x$. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre $y = \sin x$ e $y = \cos x$.
They oscillate, never increasing forever. The other three are correct. · Oscilan, nunca aumentando indefinidamente. Las otras tres son correctas.
Amplitude, midline, and period
- The parent waves have amplitude 振幅 $1$: they rise $1$ above and dip $1$ below.
- Their midline 中线 is $y = 0$, the level they oscillate around.
- Their period 周期 is $2\pi$, the horizontal length of one cycle.
- Every other sine-shaped graph is one of these, stretched or shifted.
Amplitud, línea media y período
- Las ondas padre tienen amplitud 振幅 $1$: suben $1$ por encima y bajan $1$ por debajo.
- Su línea media 中线 es $y = 0$, el nivel alrededor del cual oscilan.
- Su período 周期 es $2\pi$, la longitud horizontal de un ciclo.
- Cada otra gráfica con forma de seno es una de estas, estirada o desplazada.
The parent sine and cosine graphs each have a period of ____ radians. · Las funciones seno y coseno padres tienen cada una un período de ____ radianes.
One full cycle spans $2\pi$ before the wave repeats — the period · período of the parent functions. · Un ciclo completo abarca $2\pi$ antes de que la onda se repita: este es el período de las funciones padres.
The parent sine and cosine graphs have amplitude $1$ and midline $y = 0$. · Las funciones seno y coseno padres tienen amplitud $1$ y línea media $y = 0$.
They swing between $-1$ and · y $1$: amplitude · amplitud $1$ above/below the midline $y = 0$. · Oscilan entre $-1$ y $1$: amplitud $1$ arriba/abajo de la línea media $y = 0$.
Reading the wave
- To sketch a cycle, mark five key points: start, peak, middle, trough, end.
- For sine those heights are $0, 1, 0, -1, 0$ across one period.
- For cosine they are $1, 0, -1, 0, 1$.
- Join them with a smooth curve and repeat left and right forever.
Leer la onda
- Para dibujar un ciclo, marca cinco puntos clave: inicio, pico, medio, valle, fin.
- Para el seno, esas alturas son $0, 1, 0, -1, 0$ a lo largo de un período.
- Para el coseno son $1, 0, -1, 0, 1$.
- Únelos con una curva suave y repite hacia la izquierda y derecha para siempre.
Sine and cosine graphs never stop or level off — they oscillate forever between $-1$ and $1$. Do not draw them flattening toward an asymptote; unlike exponentials and logs, they simply keep waving.
Las gráficas del seno y del coseno nunca se detienen ni se nivelan; oscilan eternamente entre $-1$ y $1$. No las dibujes aplanándose hacia una asíntota; a diferencia de las exponenciales y logarítmicas, simplemente continúan ondulando.
Where does $y = \sin x$ first reach its maximum, and its minimum?
- Maximum $1$ occurs at $x = \tfrac{\pi}{2}$ (a quarter of the way through a cycle).
- Minimum $-1$ occurs at $x = \tfrac{3\pi}{2}$ (three-quarters through).
- Both repeat every $2\pi$ thereafter.
¿Dónde alcanza $y = \sin x$ por primera vez su máximo y su mínimo?
- El máximo $1$ ocurre en $x = \tfrac{\pi}{2}$ (un cuarto del camino dentro de un ciclo).
- El mínimo $-1$ ocurre en $x = \tfrac{3\pi}{2}$ (tres cuartos del camino).
- Ambos se repiten cada $2\pi$ después de eso.
The sine and cosine graphs are the unit circle unrolled: smooth waves with amplitude $1$, midline $y = 0$, and period $2\pi$. They are identical in shape, offset by a quarter period, so $\cos x = \sin(x + \tfrac{\pi}{2})$.
Las gráficas del seno y el coseno son el círculo unitario desenrollado: ondas suaves con amplitud $1$, línea media $y = 0$ y período $2\pi$. Son idénticas en forma, desplazadas un cuarto de período, por lo que $\cos x = \sin(x + \tfrac{\pi}{2})$.