Sine and Cosine Function Values · Valores de la Función Seno y Coseno
| English | Español |
|---|---|
| sine/saɪn/ | seno |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | coseno |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | círculo unitario |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radianes |
| period/ˈpɪərɪəd/ | período |
Values you can read off a circle
- Every angle has a sine and a cosine — but where do the numbers come from?
- They are just coordinates on the unit circle, read straight off.
- A handful of "special" angles give clean, memorable values.
- Learn those, and the symmetry of the circle hands you the rest.
Valores que se pueden leer en un círculo
- Todo ángulo tiene un seno y un coseno, pero ¿de dónde provienen los números?
- Son simplemente coordenadas en el círculo unitario, leídas directamente.
- Un puñado de ángulos "especiales" proporcionan valores limpios y fáciles de recordar.
- Al aprenderlos, la simetría del círculo te proporciona el resto.
Special-angle values
- At $\theta = 0$: the point is $(1, 0)$, so $\cos 0 = 1$ and $\sin 0 = 0$.
- At $\theta = \tfrac{\pi}{2}$ ($90°$): the point is $(0, 1)$, so $\cos = 0$, $\sin = 1$.
- The angles $30°, 45°, 60°$ give the familiar values with $\tfrac12$, $\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tfrac{\sqrt3}{2}$.
- Reading a sine 正弦 or cosine 余弦 is just reading a coordinate.
Valores de ángulos especiales
- En $\theta = 0$: el punto es $(1, 0)$, por lo tanto $\cos 0 = 1$ y $\sin 0 = 0$.
- En $\theta = \tfrac{\pi}{2}$ ($90°$): el punto es $(0, 1)$, por lo tanto $\cos = 0$, $\sin = 1$.
- Los ángulos $30°, 45°, 60°$ dan los valores familiares con $\tfrac12$, $\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tfrac{\sqrt3}{2}$.
- Leer un seno o un coseno es simplemente leer una coordenada.
Read sine and cosine at any angle · Leer seno y coseno en cualquier ángulo
Move the angle and watch the sine (height) and cosine (across) values change and repeat. · Mueve el ángulo y observa cómo cambian y se repiten los valores del seno (altura) y coseno (horizontal).
What is $\sin 0$? · ¿Cuál es $\sin 0$?
At angle $0$, the unit-circle point is $(1, 0)$, so the y-coordinate $\sin 0 = 0$. · En el ángulo $0$, el punto en la circunferencia unitaria es $(1, 0)$, por lo que la coordenada y $\sin 0 = 0$.
What is $\cos 0$? · ¿Cuál es $\cos 0$?
At angle $0$, the point is $(1, 0)$, so the x-coordinate $\cos 0 = 1$. · En el ángulo $0$, el punto es $(1, 0)$, por lo que la coordenada x $\cos 0 = 1$.
Signs by quadrant
- In the top-right quadrant both coordinates are positive, so sine and cosine are positive.
- Cross into other quadrants and one or both turn negative.
- "All, Sine, Tangent, Cosine" (ASTC) records which are positive, quadrant by quadrant.
- The unit circle 单位圆 makes every sign obvious — just look at the coordinate.
Signos por cuadrante
- En el cuadrante superior derecho ambas coordenadas son positivas, por lo tanto el seno y el coseno son positivos.
- Al pasar a otros cuadrantes, uno o ambos se vuelven negativos.
- "Todo, Seno, Tangente, Coseno" (ASTC) registra cuáles son positivos, cuadrante por cuadrante.
- El círculo unitario hace que cada signo sea obvio — solo mira la coordenada.
The output of $\sin\theta$ always lies between… · La salida de $\sin\theta$ siempre se encuentra entre…
On the unit circle the y-coordinate never leaves $[-1, 1]$, so $-1 \le \sin\theta \le 1$. · En la circunferencia unitaria, la coordenada y nunca sale de $[-1, 1]$, así que $-1 \le \sin\theta \le 1$.
Select all · todos true statements about sine and cosine values. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas sobre los valores de seno y coseno.
Sine never reaches $2$ — it is capped at $1$. The other three are correct. · El seno nunca alcanza $2$ — está limitado a $1$. Las otras tres son correctas.
Repeating every full turn
- After one full revolution the point lands exactly where it began.
- So the values repeat every $2\pi$ radians 弧度 (or $360°$).
- That regular repeat is the period 周期 of sine and cosine.
- Adding any multiple of $2\pi$ to an angle leaves its sine and cosine unchanged.
Repetición cada vuelta completa
- Después de una revolución completa, el punto cae exactamente donde comenzó.
- Por lo tanto, los valores se repiten cada $2\pi$ radianes (o $360°$).
- Esa repetición regular es el período del seno y el coseno.
- Sumar cualquier múltiplo de $2\pi$ a un ángulo deja su seno y su coseno sin cambios.
Sine and cosine values repeat every ____ radians (one full turn). · Los valores de seno y coseno se repiten cada ____ radianes (una vuelta completa).
After a full revolution of $2\pi$ (or $360°$), the point returns to where it started, so the values repeat. · Después de una revolución completa de $2\pi$ (o $360°$), el punto vuelve al lugar donde comenzó, por lo que los valores se repiten.
Bounded outputs
- Because the circle has radius $1$, no coordinate ever exceeds $1$ or drops below $-1$.
- So both sine and cosine always satisfy $-1 \le \text{value} \le 1$.
- The maximum, $1$, and minimum, $-1$, occur at the top/bottom or left/right of the circle.
- This bound is why sinusoidal waves have a fixed height.
Salidas acotadas
- Debido a que el círculo tiene radio $1$, ninguna coordenada supera nunca $1$ ni desciende por debajo de $-1$.
- Por lo tanto, tanto el seno como el coseno siempre satisfacen $-1 \le \text{value} \le 1$.
- El máximo, $1$, y el mínimo, $-1$, ocurren en la parte superior/inferior o izquierda/derecha del círculo.
- Esta cota es la razón por la que las ondas sinusoidales tienen una altura fija.
Sine and cosine can never be $2$ or $-5$. Their outputs are locked into $[-1, 1]$ by the unit circle. If a calculation gives $\sin\theta = 1.4$, you have made an error somewhere.
El seno y el coseno nunca pueden ser $2$ o $-5$. Sus salidas están limitadas a $[-1, 1]$ por el círculo unitario. Si un cálculo da $\sin\theta = 1.4$, has cometido un error en algún lugar.
Find $\sin\tfrac{\pi}{2}$, $\cos\pi$, and $\sin 3\pi$.
- $\sin\tfrac{\pi}{2}$: the top of the circle $(0,1)$, so $\sin = 1$.
- $\cos\pi$: the left point $(-1, 0)$, so $\cos = -1$.
- $\sin 3\pi = \sin(\pi + 2\pi) = \sin\pi = 0$ — the extra $2\pi$ changes nothing.
Encuentra $\sin\tfrac{\pi}{2}$, $\cos\pi$ y $\sin 3\pi$.
- $\sin\tfrac{\pi}{2}$: la parte superior del círculo $(0,1)$, así que $\sin = 1$.
- $\cos\pi$: el punto izquierdo $(-1, 0)$, así que $\cos = -1$.
- $\sin 3\pi = \sin(\pi + 2\pi) = \sin\pi = 0$ — el $2\pi$ adicional no cambia nada.
Sine and cosine values are coordinates on the unit circle. Special angles give clean values, and the quadrant fixes the sign. The values repeat every $2\pi$ radians (the period), and both always stay within $[-1, 1]$.
Los valores de seno y coseno son coordenadas en el círculo unitario. Los ángulos especiales dan valores limpios, y el cuadrante fija el signo. Los valores se repiten cada $2\pi$ radianes (el período), y ambos siempre permanecen dentro de $[-1, 1]$.