Sine, Cosine, and Tangent · Seno, Coseno y Tangente
| English | Español |
|---|---|
| sine/saɪn/ | seno |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | coseno |
| tangent/ˈtændʒənt/ | tangente |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | círculo unitario |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radianes |
Three ratios that unlock circles
- Long ago, surveyors and astronomers needed to link angles to lengths.
- The answer was three ratios inside a right triangle: sine, cosine, and tangent.
- They turn an angle into a number, and a number back into an angle.
- These three functions are the doorway to everything periodic.
Tres razones que desbloquean los círculos
- Hace mucho tiempo, topógrafos y astrónomos necesitaban vincular ángulos con longitudes.
- La respuesta fueron tres razones dentro de un triángulo rectángulo: seno, coseno y tangente.
- Convierten un ángulo en un número, y un número de vuelta a un ángulo.
- Estas tres funciones son la puerta de entrada a todo lo periódico.
Right-triangle ratios
- For an acute angle in a right triangle, label the sides opposite, adjacent, and hypotenuse.
- Sine 正弦: $\sin\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$.
- Cosine 余弦: $\cos\theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$.
- Tangent 正切: $\tan\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$. Remember SOH-CAH-TOA.
Razones del triángulo rectángulo
- Para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, etiqueta los lados como opuesto, adyacente e hipotenusa.
- Seno 正弦: $\sin\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$.
- Coseno 余弦: $\cos\theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$.
- Tangente 正切: $\tan\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$. Recuerda SOH-CAH-TOA.
In a right triangle, $\sin\theta$ equals… · En un triángulo rectángulo, $\sin\theta$ es igual a…
SOH: sine · seno is opposite over hypotenuse. CAH: cosine is adjacent over hypotenuse. TOA: tangent is opposite over adjacent. · SOH: seno es opuesto sobre hipotenusa. CAH: coseno es adyacente sobre hipotenusa. TOA: tangente es opuesto sobre adyacente.
The unit circle
- Draw a circle of radius $1$ centred at the origin — the unit circle 单位圆.
- A point on it at angle $\theta$ has coordinates exactly $(\cos\theta, \sin\theta)$.
- So cosine is the x-coordinate and sine is the y-coordinate.
- This lets angles beyond $90°$ have sine and cosine too — all the way around.
El círculo unitario
- Dibuja un círculo de radio $1$ centrado en el origen — el círculo unitario 单位圆.
- Un punto sobre él en un ángulo $\theta$ tiene coordenadas exactamente $(\cos\theta, \sin\theta)$.
- Por lo tanto, el coseno es la coordenada x y el seno es la coordenada y.
- Esto permite que los ángulos mayores a $90°$ también tengan seno y coseno — alrededor completo.
Spin a point around the unit circle · Gira un punto alrededor de la circunferencia unitaria
The x-coordinate of the point is the cosine of the angle, and the y-coordinate is the sine. · La coordenada x del punto es el coseno del ángulo, y la coordenada y es el seno.
On the unit circle, a point at angle $\theta$ has coordinates… · En la circunferencia unitaria, un punto en el ángulo $\theta$ tiene coordenadas…
On a circle of radius 1, the point is $(\cos\theta, \sin\theta)$ — cosine is the x-coordinate, sine the y. · En una circunferencia de radio 1, el punto es $(\cos\theta, \sin\theta)$ — el coseno es la coordenada x, el seno la y.
Select all · todos true statements. · Selecciona todas las afirmaciones verdaderas.
A full circle is $360°$ (or $2\pi$ radians), not $100°$. The other three are correct. · Un círculo completo es $360°$ (o $2\pi$ radianes), no $100°$. Las otras tres son correctas.
Radians and tangent
- Angles can be measured in degrees or in radians 弧度, where a full circle is $2\pi$.
- Radians measure the arc length swept on the unit circle, so $180° = \pi$.
- Tangent connects the other two: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- On the unit circle, tangent is the slope of the line from the origin to the point.
Radianes y tangente
- Los ángulos pueden medirse en grados o en radianes 弧度, donde una vuelta completa es $2\pi$.
- Los radianes miden la longitud del arco barrido en el círculo unitario, por lo que $180° = \pi$.
- La tangente conecta las otras dos: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- En el círculo unitario, la tangente es la pendiente de la línea desde el origen hasta el punto.
Tangent equals sine divided by ____ (so $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$). · La tangente es igual al seno dividido por ____ (por lo tanto $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$).
The · El tangent · tangente is sine divided by cosine: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$. · La tangente es el seno dividido por el coseno: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
Angles can be measured in radians, where a full circle is $2\pi$. · Los ángulos pueden medirse en radianes, donde una vuelta completa son $2\pi$.
A full turn is $360°$ or, in radians, $2\pi$. Radians measure the arc length on the unit circle. · Una vuelta completa es $360°$ o, en radianes, $2\pi$. Los radianes miden la longitud del arco en la circunferencia unitaria.
Around and around
- As the point travels once around the circle, sine and cosine cycle through all their values.
- Past one full turn, everything repeats — which is why these functions are periodic.
- Cosine starts at $1$ (angle $0$); sine starts at $0$.
- The unit circle is the single picture behind every trig value.
Alrededor y alrededor
- A medida que el punto viaja una vez alrededor del círculo, el seno y el coseno ciclan a través de todos sus valores.
- Pasada una vuelta completa, todo se repite — que es por qué estas funciones son periódicas.
- El coseno comienza en $1$ (ángulo $0$); el seno comienza en $0$.
- El círculo unitario es la única imagen detrás de cada valor trigonométrico.
Keep track of your angle units. $\sin(90)$ is nearly $1$ if $90$ means degrees, but a very different value if $90$ means radians. Always know whether a problem is in degrees or radians before you compute.
Lleva registro de tus unidades de ángulo. $\sin(90)$ es casi $1$ si $90$ significa grados, pero un valor muy diferente si $90$ significa radianes. Siempre sabe si un problema está en grados o radianes antes de calcular.
Find $\sin\theta$ and $\cos\theta$ for the angle whose unit-circle point is $(0.6, 0.8)$.
- The x-coordinate is cosine: $\cos\theta = 0.6$.
- The y-coordinate is sine: $\sin\theta = 0.8$.
- Check: $0.6^2 + 0.8^2 = 0.36 + 0.64 = 1$, as the unit circle requires.
Encuentra $\sin\theta$ y $\cos\theta$ para el ángulo cuyo punto en el círculo unitario es $(0.6, 0.8)$.
- La coordenada x es el coseno: $\cos\theta = 0.6$.
- La coordenada y es el seno: $\sin\theta = 0.8$.
- Verifica: $0.6^2 + 0.8^2 = 0.36 + 0.64 = 1$, como exige el círculo unitario.
Sine, cosine, and tangent are ratios in a right triangle (SOH-CAH-TOA). On the unit circle, a point at angle $\theta$ is $(\cos\theta, \sin\theta)$, which extends the functions to any angle. Angles measure in degrees or radians ($2\pi$ per turn), and $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
Seno, coseno y tangente son razones en un triángulo rectángulo (SOH-CAH-TOA). En el círculo unitario, un punto en un ángulo $\theta$ es $(\cos\theta, \sin\theta)$, lo cual extiende las funciones a cualquier ángulo. Los ángulos se miden en grados o radianes ($2\pi$ por vuelta), y $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.