Representing and Analyzing SHM · Representación y análisis del MHS
SHM draws a perfect sine wave in time
- Track an oscillating mass and plot its position against time — you get a smooth, repeating wave.
- Not a jagged zig-zag, but the graceful curve of a sine or cosine.
- That shape is the fingerprint of simple harmonic motion, and it lets us predict every instant.
- Reading it tells you position, velocity and acceleration at a glance.
El MHS traza una onda senoidal perfecta en el tiempo
- Rastrea una masa oscilante y grafica su posición frente al tiempo — obtendrás una onda suave y repetitiva.
- No es un zigzag irregular, sino la curva elegante de un seno o coseno.
- Esa forma es la huella dactilar del movimiento armónico simple, y nos permite predecir cada instante.
- Leerla te da a simple vista la posición, velocidad y aceleración.
The equation of motion
- Starting from the maximum, position follows $x(t) = A\cos(\omega t)$.
- $A$ is the amplitude (the maximum displacement) and $\omega = 2\pi f$ is the angular frequency.
- After one period $T$ the curve repeats exactly.
- Feed in a time and the formula gives the exact position.
La ecuación del movimiento
- Partiendo desde el máximo, la posición sigue $x(t) = A\cos(\omega t)$.
- $A$ es la amplitud (el desplazamiento máximo) y $\omega = 2\pi f$ es la frecuencia angular.
- Después de un período $T$, la curva se repite exactamente.
- Si introduces un tiempo, la fórmula te da la posición exacta.
Position around a cycle · Posición en un ciclo
Step through the phase of the oscillation and see how position and energy vary across a cycle. · Recorre la fase de la oscilación y observa cómo varían la posición y la energía a lo largo de un ciclo.
An oscillator is $x(t) = 0.1\cos(4t)$ (metres). What is its position at $t = 0$, in metres? · Un oscilador está dado por $x(t) = 0.1\cos(4t)$ (metros). ¿Cuál es su posición en $t = 0$, en metros?
$x(0) = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ — the maximum displacement (amplitude). · $x(0) = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ — el desplazamiento máximo (amplitud).
In $x(t) = A\cos(\omega t)$, the symbol $A$ is the ____. · En $x(t) = A\cos(\omega t)$, el símbolo $A$ es el ____.
$A$ is the amplitude — the maximum displacement from equilibrium. · $A$ es la amplitud: el desplazamiento máximo desde el equilibrio.
Where it's fastest and where it accelerates
- Speed is greatest at the middle (equilibrium) and zero at the ends (turning points).
- Acceleration is greatest at the ends and zero at the middle.
- This is because acceleration follows the force: $a = -\dfrac{k}{m}x$, biggest where $x$ is biggest.
- So velocity and acceleration are "out of step" — one peaks where the other is zero.
Dónde es más rápido y dónde acelera
- La velocidad es máxima en el centro (equilibrio) y cero en los extremos (puntos de retorno).
- La aceleración es máxima en los extremos y cero en el centro.
- Esto se debe a que la aceleración sigue a la fuerza: $a = -\dfrac{k}{m}x$, siendo mayor donde $x$ es mayor.
- Por lo tanto, la velocidad y la aceleración están "desfasadas" — una alcanza su pico cuando la otra es cero.
Where is an SHM oscillator moving fastest? · ¿Dónde se mueve más rápido un oscilador en MHS?
Speed is greatest at the middle, where the acceleration (and force) is zero. · La velocidad es máxima en el centro, donde la aceleración (y la fuerza) son cero.
Where is the acceleration of an SHM oscillator greatest? · ¿Dónde es mayor la aceleración de un oscilador en MHS?
$a = -\tfrac{k}{m}x$ is largest where $x$ is largest — at the extremes. · $a = -\tfrac{k}{m}x$ es mayor donde $x$ es mayor — en los extremos.
A mass starts at the far right. Order what happens next, first at the top. · Una masa comienza en el extremo derecho. Ordena lo que ocurre después, primero arriba.
It accelerates toward the middle (max speed there), then decelerates to a stop at the other extreme. · Acelera hacia el centro (velocidad máxima allí), luego desacelera hasta detenerse en el otro extremo.
Position, velocity, acceleration
- If position is a cosine, velocity is a (negative) sine, and acceleration is a (negative) cosine.
- Each is shifted a quarter-cycle from the last.
- The acceleration is always opposite the displacement — that is the SHM condition again.
- Together the three graphs tell the whole story of the motion.
Posición, velocidad, aceleración
- Si la posición es un coseno, la velocidad es un (negativo) seno, y la aceleración es un (negativo) coseno.
- Cada una está desfasada un cuarto de ciclo respecto a la anterior.
- La aceleración siempre es opuesta al desplazamiento — esa es nuevamente la condición del MHS.
- Juntas, las tres gráficas cuentan toda la historia del movimiento.
In SHM the acceleration always points opposite to the displacement. · En el MHS, la aceleración siempre apunta en dirección opuesta al desplazamiento.
$a = -\tfrac{k}{m}x$: the minus sign means acceleration opposes displacement. · $a = -\tfrac{k}{m}x$: el signo menos indica que la aceleración se opone al desplazamiento.
In SHM, velocity and acceleration do not peak at the same place. Velocity is largest at the centre (where acceleration is zero); acceleration is largest at the extremes (where velocity is zero). Mixing these up is a classic error.
En el MHS, la velocidad y la aceleración no alcanzan su máximo en el mismo lugar. La velocidad es mayor en el centro (donde la aceleración es cero); la aceleración es mayor en los extremos (donde la velocidad es cero). Confundir esto es un error clásico.
An oscillator has amplitude $A = 0.1\ \text{m}$ and angular frequency $\omega = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, starting at the maximum.
- Position: $x(t) = 0.1\cos(4t)$.
- At $t = 0$: $x = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ (the maximum), where the speed is zero.
Un oscilador tiene amplitud $A = 0.1\ \text{m}$ y frecuencia angular $\omega = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, partiendo desde el máximo.
- Posición: $x(t) = 0.1\cos(4t)$.
- En $t = 0$: $x = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ (el máximo), donde la velocidad es cero.
SHM position follows $x(t) = A\cos(\omega t)$ — a sinusoid of amplitude $A$ and angular frequency $\omega = 2\pi f$. Speed peaks at the centre, acceleration peaks at the extremes, and acceleration always points opposite the displacement.
La posición del MHS sigue $x(t) = A\cos(\omega t)$ — una sinusoidal de amplitud $A$ y frecuencia angular $\omega = 2\pi f$. La velocidad alcanza su máximo en el centro, la aceleración alcanza su máximo en los extremos, y la aceleración siempre apunta en dirección opuesta al desplazamiento.