Defining Convergent and Divergent Infinite Series · Definición de series infinitas convergentes y divergentes
| English | Español |
|---|---|
| infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ | serie infinita |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | converge |
| diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ | diverge |
| partial sum/ˈpɑːʃl sʌm/ | suma parcial |
Adding up infinitely many numbers
- Can you add up infinitely many terms and get a finite total? Sometimes yes.
- An infinite series 无穷级数 is the sum $a_1+a_2+a_3+\cdots$ of the terms of a sequence.
- It converges 收敛 if the running total approaches a finite number, and diverges 发散 otherwise.
- This unit is all about deciding which — and, when it converges, to what.
Sumar infinitamente muchos números
- ¿Puedes sumar infinitamente muchos términos y obtener un total finito? A veces sí.
- Una serie infinita 无穷级数 es la suma $a_1+a_2+a_3+\cdots$ de los términos de una secuencia.
- Converge 收敛 si el total acumulado se acerca a un número finito, y diverge 发散 en caso contrario.
- Esta unidad trata sobre cómo decidir cuál —y, cuando converge, hacia qué valor.
Partial sums are the key
- Add the terms one at a time: the partial sum 部分和 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ is the total of the first $n$ terms.
- These partial sums form their own sequence $S_1,S_2,S_3,\dots$.
- The series' value is defined as the limit of the partial sums: $\displaystyle\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
- So an infinite sum is really a limit — the same limit idea from Unit 1.
Las sumas parciales son la clave
- Suma los términos uno a uno: la suma parcial 部分和 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ es el total de los primeros $n$ términos.
- Estas sumas parciales forman su propia secuencia $S_1,S_2,S_3,\dots$.
- El valor de la serie se define como el límite de las sumas parciales: $\displaystyle\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
- Por lo tanto, una suma infinita es realmente un límite —el mismo concepto de límite visto en la Unidad 1.
Terms of a converging series · Términos de una serie convergente
The terms of $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ shrink geometrically, so the partial sums settle at a finite limit. · Los términos de $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ disminuyen geométricamente, por lo que las sumas parciales se acercan a un límite finito.
The value of an infinite series is defined as the limit of its... · El valor de una serie infinita se define como el límite de sus...
$\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
The sum of the first $n$ terms, $S_n$, is called the $n$th ____ sum. · La suma de los primeros $n$ términos, $S_n$, se llama la $n$-ésima suma ____.
The series is the limit of these partial sums. · La serie es el límite de estas sumas parciales.
Converge vs. diverge
- Converges: the partial sums $S_n$ approach a finite limit $L$ — that $L$ is the series' sum.
- Diverges: the partial sums grow without bound, or bounce and never settle.
- $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ converges (to $2$); $1+1+1+\cdots$ diverges.
- Convergence is about the partial sums settling down, not the terms.
Converger vs. divergir
- Converge: las sumas parciales $S_n$ se acercan a un límite finito $L$ —ese $L$ es la suma de la serie.
- Diverge: las sumas parciales crecen sin límite o oscilan sin nunca estabilizarse.
- $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ converge (hacia $2$); $1+1+1+\cdots$ diverge.
- La convergencia se refiere a que las sumas parciales se estabilicen, no a los términos individuales.
The partial sums of $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ climb toward what limit? · ¿Hacia qué límite se acercan las sumas parciales de $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$?
A geometric series with ratio $\tfrac12$ sums to $2$. · Una serie geométrica con razón $\tfrac12$ suma $2$.
Which series clearly diverges? · ¿Qué serie claramente diverge?
Terms don't shrink to $0$, so it diverges. · Los términos no se reducen a $0$, por lo que diverge.
A series converges when its partial sums... · Una serie converge cuando sus sumas parciales...
Convergence = partial sums approach a finite $L$. · Convergencia = las sumas parciales se aproximan a un $L$ finito.
Terms shrinking is necessary, not enough
- For a series to converge, its terms must shrink to $0$ — otherwise the total can't settle.
- But shrinking terms alone don't guarantee convergence (the harmonic series $\sum\tfrac1n$ has terms $\to0$ yet diverges).
- So "$a_n\to0$" is a necessary condition, not a sufficient one.
- The tests in this unit are the tools for the harder cases.
Que los términos se reduzcan es necesario, pero no suficiente
- Para que una serie converja, sus términos deben reducirse hacia $0$ —de lo contrario, el total no puede estabilizarse.
- Pero que los términos se reduzcan por sí solos no garantiza la convergencia (la serie armónica $\sum\tfrac1n$ tiene términos que tienden a $\to0$, pero diverge).
- Por tanto, "$a_n\to0$" es una condición necesaria, no suficiente.
- Las pruebas de esta unidad son las herramientas para los casos más difíciles.
If the terms $a_n\to 0$, the series must converge. · Si los términos $a_n\to 0$, la serie debe converger.
Necessary but not sufficient — e.g. $\sum\tfrac1n$ diverges. · Necesario pero no suficiente — p. ej. $\sum\tfrac1n$ diverge.
A series is a limit of partial sums, not just "the terms." Terms going to $0$ is necessary for convergence but not sufficient — $\sum\frac1n$ has terms $\to0$ yet diverges. Don't conclude convergence just because the terms shrink; you need one of the convergence tests.
Una serie es un límite de sumas parciales, no simplemente "los términos". Que los términos tiendan a $0$ es necesario para la convergencia, pero no suficiente —$\sum\frac1n$ tiene términos que tienden a $\to0$, pero diverge. No concluyas la convergencia solo porque los términos se reducen; necesitas aplicar alguna prueba de convergencia.
Does $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ converge?
- Partial sums: $S_1=1$, $S_2=1.5$, $S_3=1.75$, $S_4=1.875,\dots$
- They climb toward $2$ and never pass it.
- The limit is $2$, so the series converges to $2$.
¿Converge $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$?
- Sumas parciales: $S_1=1$, $S_2=1.5$, $S_3=1.75$, $S_4=1.875,\dots$
- Crecen hacia $2$ sin superarlo.
- El límite es $2$, por lo que la serie converge a $2$.
An infinite series $\sum a_n$ is the limit of its partial sums $S_n=a_1+\cdots+a_n$: it converges to $L$ if $S_n\to L$ (finite), and diverges otherwise. Terms shrinking to $0$ is necessary but not sufficient for convergence.
Una serie infinita $\sum a_n$ es el límite de sus sumas parciales $S_n=a_1+\cdots+a_n$: converge hacia $L$ si $S_n\to L$ (finito), y diverge en caso contrario. Que los términos se reduzcan hacia $0$ es necesario pero no suficiente para la convergencia.