Finding the Area of the Region Bounded by Two Polar Curves · Encontrar el Área de la Región Delimitada por Dos Curvas Polares
La región entre dos curvas polares
- Al igual que con las curvas $x,y$, puedes encontrar el área entre dos curvas polares.
- Toma el área dentro de la curva externa y resta el área dentro de la curva interna.
- Cada una es una integral $\tfrac12\int r^2\,d\theta$; la respuesta es su diferencia.
- El truco consiste en encontrar dónde se cruzan las curvas para establecer los límites angulares.
Encuentra primero los ángulos de intersección
- Iguala las dos curvas, $f(\theta)=g(\theta)$, y resuelve para los ángulos de intersección.
- Estos ángulos son los límites de integración $\alpha,\beta$ para la región encerrada.
- (Las intersecciones polares pueden ser engañosas: un punto puede alcanzarse con diferentes $\theta$; dibuja para estar seguro).
- La región de interés se encuentra entre estos ángulos.
Cuadrado exterior menos cuadrado interior
- En el intervalo, identifica cuál curva es la exterior (mayor $r$) y cuál es la interior.
- El área entre ellas es:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\big[r_{\text{outer}}\big]^2-\big[r_{\text{inner}}\big]^2\Big)\,d\theta$$
- Eleva al cuadrado cada radio, resta, divide por dos e integra — la arandela polar.
The area between two polar curves is $\tfrac12\int_\alpha^\beta(\ ?\ )\,d\theta$ where the integrand is... · El área entre dos curvas polares es $\tfrac12\int_\alpha^\beta(\ ?\ )\,d\theta$ donde el integrando es...
Outer squared minus inner squared. · Cuadrado exterior menos cuadrado interior.
To set the angle limits, find the ____ angles by solving $f(\theta)=g(\theta)$. · Para establecer los límites angulares, encuentra los ángulos ____ resolviendo $f(\theta)=g(\theta)$.
Where the curves cross bounds the region. · Donde las curvas se cruzan delimita la región.
Elevar al cuadrado primero, luego restar
- Al igual que con las arandelas cartesianas, es $r_{\text{out}}^2-r_{\text{in}}^2$, no $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.
- Eleva cada radio al cuadrado antes de restar.
- Verifica cuál curva es exterior en el intervalo; puede cambiar, lo que requiere dividir el intervalo.
- La $\tfrac12$ y los cuadrados son ambos esenciales.
Between two polar curves · Entre dos curvas polares
The area between two polar curves subtracts the inner sectors from the outer — $\tfrac12\int(r_\text{out}^2-r_\text{in}^2)\,d\theta$. · El área entre dos curvas polares resta los sectores interiores a los exteriores — $\tfrac12\int(r_\text{out}^2-r_\text{in}^2)\,d\theta$.
Over the interval, the outer curve is the one with the... · Sobre el intervalo, la curva exterior es la que tiene el...
Outer = farther from the origin = larger $r$. · Exterior = más lejos del origen = mayor $r$.
El integrando es $r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2$ — elevar al cuadrado antes de restar, nunca $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$. Obtén correctamente los ángulos de intersección (dibuja las curvas) y confirma cuál curva es la exterior en el intervalo; si intercambian posiciones, divide la integral en el punto de cruce.
Area inside $r=2$, outside $r=1$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}(4-1)\,d\theta$ (as a multiple of $\pi$). · Área dentro de $r=2$, fuera de $r=1$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}(4-1)\,d\theta$ (como múltiplo de $\pi$).
$\tfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
You square each radius before subtracting, not $(r_\text{out}-r_\text{in})^2$. · Elevas al cuadrado cada radio antes de restar, no $(r_\text{out}-r_\text{in})^2$.
It is · Es $r_\text{out}^2-r_\text{in}^2$. · Es $r_\text{out}^2-r_\text{in}^2$.
If the outer and inner curves swap over the interval, you should split the integral at the crossing. · Si las curvas exterior e interior se intercambian sobre el intervalo, debes dividir la integral en el punto de cruce.
A split keeps outer-minus-inner correct on each piece. · Una división mantiene correcto el exterior menos interior en cada parte.
Encuentre el área dentro de $r=2$ pero fuera de $r=1$ (un anillo).
- Radio exterior $r=2$, radio interior $r=1$, para todos los ángulos de $0$ a $2\pi$.
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}\big(2^2-1^2\big)\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}3\,d\theta=\dfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
- (Coincide con el área del anillo $\pi(2^2-1^2)=3\pi$.) ✓
El área entre dos curvas polares es $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2\big)\,d\theta$. Primero encuentra los ángulos de intersección para los límites, identifica cuál es la curva exterior y cuál la interior, y eleva al cuadrado cada radio antes de restarlos; nunca $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.