Find the Area of a Polar Region or the Area Bounded by a Single Polar Curve · Encontrar el área de una región polar o el área delimitada por una sola curva polar
| English | Español |
|---|---|
| area/ˈeərɪə/ | área |
| sectors/ˈsektəz/ | sectores |
Area swept by a polar curve
- For $y=f(x)$ we sliced area into vertical rectangles. A polar curve sweeps around the origin instead.
- So we slice the region into thin pie-shaped sectors 扇形, each a sliver of a circle.
- Adding up those sector areas gives the area 面积 enclosed by the polar curve.
- The result is a clean integral in $\theta$.
Área barrida por una curva polar
- Para $y=f(x)$, dividíamos el área en rectángulos verticales. Una curva polar barre alrededor del origen en su lugar.
- Por lo tanto, dividimos la región en sectores 扇形 finos en forma de sector circular, cada uno como una lámina de un círculo.
- Sumar las áreas de esos sectores nos da el área 面积 encerrada por la curva polar.
- El resultado es una integral limpia en $\theta$.
The polar area formula
- A thin sector at angle $\theta$ has radius $r=f(\theta)$ and tiny angle $d\theta$; its area is $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
- Add them from $\theta=\alpha$ to $\theta=\beta$:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$$
- Square the radius, halve, and integrate over the angle interval.
Fórmula del área polar
- Un sector fino en el ángulo $\theta$ tiene radio $r=f(\theta)$ y un ángulo微小 $d\theta$; su área es $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
- Sumamos desde $\theta=\alpha$ hasta $\theta=\beta$:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$$
- Eleva el radio al cuadrado, divídelo entre dos e integra sobre el intervalo de ángulos.
The area enclosed by $r=f(\theta)$ is... · El área encerrada por $r=f(\theta)$ es...
Half the integral of $r^2$. · La mitad de la integral de $r^2$.
Why the $\tfrac12 r^2$
- The area of a full circular sector of radius $r$ and angle $\Delta\theta$ is $\tfrac12 r^2\,\Delta\theta$.
- Our thin slices are exactly these sectors with $\Delta\theta\to d\theta$.
- Summing them (integrating) accumulates the swept-out region.
- It's the polar analog of "sum thin rectangles," using pie slices instead.
¿Por qué $\tfrac12 r^2$?
- El área de un sector circular completo de radio $r$ y ángulo $\Delta\theta$ es $\tfrac12 r^2\,\Delta\theta$.
- Nuestras rebanadas finas son exactamente estos sectores con $\Delta\theta\to d\theta$.
- Al sumarlas (integrando), acumulamos la región barrida.
- Es el análogo polar de "sumar rectángulos finos", usando rebanadas de pastel en su lugar.
Thin sectors sweep the area · Sectores finos barrer el área
A polar region is summed from thin pie-slice sectors, each of area $\tfrac12 r^2\,d\theta$. · Una región polar se suma a partir de sectores finos en forma de rebanada de pastel, cada uno con un área de $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
The polar area formula sums the areas of thin circular ____. · La fórmula del área polar suma las áreas de ____ circulares finos.
Each sector has area $\tfrac12 r^2\,d\theta$. · Cada sector tiene un área de $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
Choosing the angle limits
- The limits $\alpha,\beta$ are the angles over which the curve sweeps the region once.
- For one full loop of a simple curve, that's often $0$ to $2\pi$ — but many curves close in less.
- A petal of a rose $r=\cos(3\theta)$ sweeps between consecutive zeros of $r$.
- Pick limits that trace the region exactly once (no double-counting).
Elegir los límites angulares
- Los límites $\alpha,\beta$ son los ángulos sobre los cuales la curva barre la región una sola vez.
- Para un bucle completo de una curva simple, a menudo es de $0$ a $2\pi$, pero muchas curvas se cierran en menos.
- Un pétalo de una rosa $r=\cos(3\theta)$ barre entre ceros consecutivos de $r$.
- Elige límites que trazquen la región exactamente una vez (sin doble conteo).
Find the area enclosed by $r=2$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta$ (as a multiple of $\pi$, enter the number). · Encontrar el área encerrada por $r=2$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta$ (como un múltiplo de $\pi$, ingrese el número).
$\tfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
The polar area formula includes a factor of $\tfrac12$ and squares $r$. · La fórmula del área polar incluye un factor de $\tfrac12$ y eleva al cuadrado $r$.
$A=\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
The angle limits $\alpha,\beta$ should be chosen so the curve traces the region... · Los límites angulares $\alpha,\beta$ deben elegirse para que la curva trace la región...
Tracing more than once double-counts area. · Trazar más de una vez duplica el conteo del área.
The polar formula gives $4\pi$ for $r=2$, which matches... · La fórmula polar da $4\pi$ para $r=2$, lo cual coincide con...
$\pi(2)^2=4\pi$ — the two agree. · $\pi(2)^2=4\pi$ — ambas coinciden.
The formula is $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ — don't forget the $\tfrac12$ or the square on $r$. And choose $\alpha,\beta$ so the curve traces the region exactly once: overshooting the angle range double-counts area (a full rose petal, for instance, needs the angles between two consecutive $r=0$ values, not $0$ to $2\pi$).
La fórmula es $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ — no olvides el $\tfrac12$ ni el cuadrado en $r$. Y elige $\alpha,\beta$ para que la curva trace la región exactamente una vez: excederse del rango angular duplicará el área (un pétalo de rosa completo, por ejemplo, necesita los ángulos entre dos valores consecutivos de $r=0$, no de $0$ a $2\pi$).
Find the area enclosed by $r=2$ (a circle of radius $2$).
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(2)^2\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta=\dfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
- This matches the familiar circle area $\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi$. ✓
Encuentra el área encerrada por $r=2$ (un círculo de radio $2$).
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(2)^2\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta=\dfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
- Esto coincide con la conocida área del círculo $\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi$. ✓
The area enclosed by a polar curve $r=f(\theta)$ is $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$ — summing thin sectors $\frac12 r^2\,d\theta$. Keep the $\frac12$ and the square, and choose the angle limits so the region is traced exactly once.
El área encerrada por una curva polar $r=f(\theta)$ es $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$ — sumando sectores finos $\frac12 r^2\,d\theta$. Mantén el $\frac12$ y el cuadrado, y elige los límites angulares para que la región sea trazada exactamente una vez.