Defining Polar Coordinates and Differentiating in Polar Form · Definiendo coordenadas polares y diferenciando en forma polar
| English | Español |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | cartesiano |
| Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | Coordenadas polares |
Locating points by angle and distance
- Cartesian coordinates use "right $x$, up $y$." Polar coordinates 极坐标 use "angle and distance."
- A point is $(r,\theta)$: $r$ is how far from the origin, $\theta$ is the angle from the positive $x$-axis.
- Circles and spirals that are ugly in $x,y$ become simple in polar form.
- Curves are written $r=f(\theta)$ — radius as a function of angle.
Localización de puntos por ángulo y distancia
- Las coordenadas cartesianas usan "derecha $x$, arriba $y$". Las coordenadas polares 极坐标 usan "ángulo y distancia."
- Un punto es $(r,\theta)$: $r$ es la distancia al origen, $\theta$ es el ángulo desde el eje $x$ positivo.
- Los círculos y espirales que son complicados en $x,y$ se vuelven simples en forma polar.
- Las curvas se escriben como $r=f(\theta)$ — radio como función del ángulo.
Converting polar ⇄ Cartesian
- Polar to Cartesian 直角坐标: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
- Cartesian to polar: $r=\sqrt{x^2+y^2}$ and $\tan\theta=\tfrac{y}{x}$.
- These come straight from right-triangle trig on the point.
- Switch whichever way makes the problem easier.
Conversión entre polar ⇄ Cartesiano
- De polar a cartesiano 直角坐标: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
- De cartesiano a polar: $r=\sqrt{x^2+y^2}$ y $\tan\theta=\tfrac{y}{x}$.
- Estas fórmulas provienen directamente de la trigonometría del triángulo rectángulo asociado al punto.
- Cambia según convenga para resolver el problema.
Sine and cosine build polar · El seno y el coseno construyen las coordenadas polares
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ — polar coordinates are built from these two trig functions of the angle. · $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ — las coordenadas polares se construyen a partir de estas dos funciones trigonométricas del ángulo.
The conversion from polar to Cartesian is... · La conversión de polares a cartesianas es...
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
To convert Cartesian to polar, $r=\sqrt{x^2+\ \_\_\_\ }$. · Para convertir de cartesianas a polares, $r=\sqrt{x^2+\ \_\_\_\ }$.
$r=\sqrt{x^2+y^2}$.
A polar curve is secretly parametric
- Treat $r=f(\theta)$ as a parametric curve with $\theta$ as the parameter:
- $x=f(\theta)\cos\theta$ and $y=f(\theta)\sin\theta$.
- Now all the parametric machinery applies — including the slope $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
- So "differentiating in polar" just means parametric differentiation with these $x,y$.
Una curva polar es secretamente paramétrica
- Trata $r=f(\theta)$ como una curva paramétrica con $\theta$ como parámetro:
- $x=f(\theta)\cos\theta$ y $y=f(\theta)\sin\theta$.
- Ahora aplican todas las herramientas de las paramétricas — incluyendo la pendiente $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
- Así que "derivar en polar" simplemente significa derivación paramétrica usando estas expresiones de $x,y$.
Convert $(2,\tfrac{\pi}{3})$: find the $x$-coordinate. · Convierte $(2,\tfrac{\pi}{3})$: encuentra la coordenada $x$.
$2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
A polar curve $r=f(\theta)$ can be treated as a parametric curve with parameter... · Una curva polar $r=f(\theta)$ puede tratarse como una curva paramétrica con parámetro...
$x=f(\theta)\cos\theta$, $y=f(\theta)\sin\theta$ with parameter $\theta$. · $x=f(\theta)\cos\theta$, $y=f(\theta)\sin\theta$ con parámetro $\theta$.
Finding the slope $\tfrac{dy}{dx}$
- Compute $\tfrac{dx}{d\theta}$ and $\tfrac{dy}{d\theta}$ from the product/chain rule on $f(\theta)\cos\theta$ and $f(\theta)\sin\theta$.
- Then $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — the ordinary parametric slope.
- Warning: $\tfrac{dy}{dx}$ is not $\tfrac{dr}{d\theta}$; the slope needs the full $x,y$ derivatives.
- The parameter is $\theta$, so differentiate the $x,y$ expressions with respect to $\theta$.
Encontrar la pendiente $\tfrac{dy}{dx}$
- Calcula $\tfrac{dx}{d\theta}$ y $\tfrac{dy}{d\theta}$ usando la regla del producto y la cadena sobre $f(\theta)\cos\theta$ y $f(\theta)\sin\theta$.
- Luego $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — la pendiente paramétrica estándar.
- Advertencia: $\tfrac{dy}{dx}$ no es igual a $\tfrac{dr}{d\theta}$; la pendiente requiere las derivadas completas de $x,y$.
- Como el parámetro es $\theta$, deriva las expresiones de $x,y$ con respecto a $\theta$.
The slope $\tfrac{dy}{dx}$ of a polar curve equals $\tfrac{dr}{d\theta}$. · La pendiente $\tfrac{dy}{dx}$ de una curva polar es igual a $\tfrac{dr}{d\theta}$.
Slope is $\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, using $x,y$ derivatives. · La pendiente es $\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, usando las derivadas de $x,y$.
The polar coordinates $(r,\theta)$ and · y $(r,\theta+2\pi)$ describe the same point. · Las coordenadas polares $(r,\theta)$ y $(r,\theta+2\pi)$ describen el mismo punto.
Adding a full turn returns to the same point. · Añadir una vuelta completa regresa al mismo punto.
The slope of a polar curve is $\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, not $\dfrac{dr}{d\theta}$. You must convert to $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ first and differentiate those (product rule!) with respect to $\theta$. And a point's polar coordinates aren't unique — $(r,\theta)$ and $(r,\theta+2\pi)$ are the same point.
La pendiente de una curva polar es $\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, no $\dfrac{dr}{d\theta}$. Primero debes convertir a $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ y derivar esas expresiones (¡regla del producto!) con respecto a $\theta$. Además, las coordenadas polares de un punto no son únicas — $(r,\theta)$ y $(r,\theta+2\pi)$ representan el mismo punto.
Convert the polar point $\big(2,\tfrac{\pi}{3}\big)$ to Cartesian.
- $x=r\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
- $y=r\sin\theta=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$.
- So the point is $\big(1,\sqrt3\big)$.
Convierte el punto polar $\big(2,\tfrac{\pi}{3}\big)$ a cartesiano.
- $x=r\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
- $y=r\sin\theta=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$.
- Por lo tanto, el punto es $\big(1,\sqrt3\big)$.
Polar coordinates $(r,\theta)$ give a point by distance and angle. Convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ (and back via $r=\sqrt{x^2+y^2}$). A polar curve $r=f(\theta)$ is a parametric curve in $\theta$, so its slope is $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — not $\frac{dr}{d\theta}$.
Las coordenadas polares $(r,\theta)$ ubican un punto mediante distancia y ángulo. Convierte usando $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ (y viceversa mediante $r=\sqrt{x^2+y^2}$). Una curva polar $r=f(\theta)$ es una curva paramétrica en $\theta$, por lo que su pendiente es $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — no $\frac{dr}{d\theta}$.