Resolución de problemas de movimiento usando funciones paramétricas y vectoriales
Movimiento plano completo, de principio a fin
- Ahora combina todo: una partícula que se mueve en el plano, descrita por $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$.
- Deriva para obtener la velocidad y la aceleración; integra para hacer lo contrario.
- Calcula la rapidez y la distancia recorrida a partir de las componentes de la velocidad.
- Esta lección es la caja de herramientas para cualquier problema de movimiento plano del BC.
Posición, velocidad, aceleración
- Posición: $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$.
- Velocidad: $\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — dirección del movimiento, tangente a la trayectoria.
- Aceleración: $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$.
- Sube en la cadena derivando, baja integrando con condiciones iniciales.
El vector velocidad es tangente a la trayectoria; su magnitud es la ____.
Rapidez = magnitud de la velocidad.
Rapidez y distancia recorrida
- Rapidez en el tiempo $t$: $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$ — un escalar.
- Distancia recorrida sobre $[a,b]$: integra la rapidez, $\displaystyle\int_a^b |\mathbf{v}(t)|\,dt$.
- Es la misma integral de longitud de arco — longitud total del camino, nunca negativa.
- La rapidez responde "qué tan rápido ahora mismo"; la integral responde "qué tan lejos en total".
Una componente de velocidad en función del tiempo
y = bx
La rapidez combina las componentes de la velocidad; integrar la rapidez con respecto al tiempo da la distancia total que recorre la partícula.
Para $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,3\rangle$, encuentre la rapidez en $t=2$.
$\sqrt{4^2+3^2}=5$.
La distancia recorrida sobre $[a,b]$ es...
Integre la rapidez (magnitud de la velocidad).
Posición en un tiempo posterior
- Para encontrar dónde está la partícula en el tiempo $b$: parte de una posición conocida y suma el cambio acumulado.
- $x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b x'(t)\,dt$, y de igual manera para $y$ — cada componente por separado.
- Esto es "final = inicial + cambio acumulado", hecho por coordenada.
- Combina ambos resultados en el vector de posición en el tiempo $b$.
¿Cuáles de estos son vectores (no escalares)?
La velocidad y la aceleración son vectores; la rapidez y la distancia son escalares.
La posición $x$ en el tiempo $b$ es $x(a)$ más...
Final = inicial + cambio acumulado de $x$.
La distancia recorrida es igual a la magnitud del vector desplazamiento.
La distancia es $\int|\mathbf{v}|\,dt$; la magnitud del desplazamiento puede ser menor.
Mantén claros los vectores y escalares: velocidad y aceleración son vectores (dirección + magnitud); rapidez y distancia son escalares. La distancia recorrida es $\int|\mathbf{v}|\,dt$ (la integral de la rapidez), no el desplazamiento $\int \mathbf{v}\,dt$ o $|\int\mathbf{v}\,dt|$. Y encuentra una posición posterior sumando las integrales de componentes a la posición inicial.
Una partícula tiene $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\ 3\rangle$. Encuentra su rapidez en $t=2$ y establece la distancia recorrida en $[0,2]$.
- Rapidez en $t=2$: $|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{(4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$.
- Distancia en $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2\sqrt{(2t)^2+3^2}\,dt=\int_0^2\sqrt{4t^2+9}\,dt$ (evaluar numéricamente).
Para el movimiento plano $\mathbf{r}(t)=\langle x,y\rangle$: velocidad $\mathbf{v}=\mathbf{r}'$, aceleración $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (vectores); rapidez $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ y distancia recorrida $\int_a^b|\mathbf{v}|\,dt$ (escalares). Encuentra una posición posterior sumando las integrales de componentes de $x',y'$ a la posición inicial.