Defining and Differentiating Parametric Equations · Definiendo y diferenciando ecuaciones paramétricas
| English | Español |
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| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | ecuaciones paramétricas |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | parámetro |
A curve traced by a moving point
- Instead of $y=f(x)$, describe a curve by giving $x$ and $y$ each as a function of a third variable.
- These are parametric equations 参数方程: $x=f(t)$ and $y=g(t)$, with parameter 参数 $t$.
- Think of $t$ as time: as $t$ runs, the point $\big(x(t),y(t)\big)$ traces the curve.
- This lets you draw loops and vertical stretches that no single $y=f(x)$ can.
Una curva trazada por un punto en movimiento
- En lugar de $y=f(x)$, describe una curva dando $x$ e $y$ cada uno como función de una tercera variable.
- Estas son ecuaciones paramétricas 参数方程: $x=f(t)$ y $y=g(t)$, con parámetro 参数 $t$.
- Piensa en $t$ como tiempo: a medida que $t$ avanza, el punto $\big(x(t),y(t)\big)$ traza la curva.
- Esto te permite dibujar bucles y estiramientos verticales que ninguna única $y=f(x)$ puede representar.
A curve a parameter traces · Una curva trazada por un parámetro
y = ax³ + bx
Parametric equations let a point sweep out curves — loops and vertical stretches no single $y=f(x)$ can draw. · Las ecuaciones paramétricas permiten que un punto trace curvas — bucles y estiramientos verticales que ninguna $y=f(x)$ individual puede dibujar.
In $x=f(t)$, $y=g(t)$, the variable $t$ is called the ____. · En $x=f(t)$, $y=g(t)$, la variable $t$ se llama el ____.
The parameter drives both coordinates. · El parámetro controla ambas coordenadas.
The parameter drives both coordinates
- At each $t$, plug into both equations to get a point $\big(x(t),y(t)\big)$.
- The curve is the path swept out as $t$ increases — with a direction of travel.
- Example: $x=\cos t,\ y=\sin t$ traces the unit circle counterclockwise.
- Eliminating $t$ (when possible) recovers a relation between $x$ and $y$.
El parámetro controla ambas coordenadas
- Para cada valor de $t$, sustituye en ambas ecuaciones para obtener un punto $\big(x(t),y(t)\big)$.
- La curva es la trayectoria barrida a medida que $t$ aumenta — con una dirección de recorrido.
- Ejemplo: $x=\cos t,\ y=\sin t$ traza el círculo unitario en sentido antihorario.
- Eliminar $t$ (cuando sea posible) recupera una relación entre $x$ e $y$.
Which parametric equations trace the unit circle? · ¿Cuáles ecuaciones paramétricas trazan el círculo unitario?
$\cos^2 t+\sin^2 t=1$ traces the unit circle. · $\cos^2 t+\sin^2 t=1$ traza el círculo unitario.
The slope $\tfrac{dy}{dx}$ from derivatives in $t$
- To find the curve's slope, differentiate each coordinate in $t$ and divide:
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- Both $\tfrac{dy}{dt}$ and $\tfrac{dx}{dt}$ come from the two equations; their ratio is the slope.
- (This is the chain rule: $\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$, rearranged.)
La pendiente $\tfrac{dy}{dx}$ a partir de derivadas en $t$
- Para encontrar la pendiente de la curva, deriva cada coordenada respecto a $t$ y divide:
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- Tanto $\tfrac{dy}{dt}$ como $\tfrac{dx}{dt}$ provienen de las dos ecuaciones; su cociente es la pendiente.
- (Esta es la regla de la cadena: $\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$, reordenada.)
For a parametric curve, $\dfrac{dy}{dx}=$ · Para una curva paramétrica, $\dfrac{dy}{dx}=$
Top over bottom: $\frac{dy/dt}{dx/dt}$. · Arriba sobre abajo: $\frac{dy/dt}{dx/dt}$.
For · A favor $x=t^2$, $y=t^3$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$. Find the slope at $t=2$. · Para $x=t^2$, $y=t^3$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$. Encuentre la pendiente en $t=2$.
$\frac{3(2)}{2}=3$.
Horizontal and vertical tangents
- Horizontal tangent: $\tfrac{dy}{dt}=0$ (and $\tfrac{dx}{dt}\neq0$) — the slope is $0$.
- Vertical tangent: $\tfrac{dx}{dt}=0$ (and $\tfrac{dy}{dt}\neq0$) — the slope is undefined.
- These come directly from the two component derivatives.
- So the same $\tfrac{dy}{dt}$, $\tfrac{dx}{dt}$ give both the slope and its special cases.
Tangentes horizontales y verticales
- Tangente horizontal: $\tfrac{dy}{dt}=0$ (y $\tfrac{dx}{dt}\neq0$) — la pendiente es $0$.
- Tangente vertical: $\tfrac{dx}{dt}=0$ (y $\tfrac{dy}{dt}\neq0$) — la pendiente no está definida.
- Estos se obtienen directamente de las dos derivadas componentes.
- Así, los mismos valores de $\tfrac{dy}{dt}$ y $\tfrac{dx}{dt}$ dan tanto la pendiente como sus casos especiales.
A parametric curve has a horizontal tangent where... · Una curva paramétrica tiene una tangente horizontal donde...
Horizontal ⇔ slope $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dt}=0$. · Horizontal ⇔ pendiente $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dt}=0$.
A vertical tangent occurs where $\dfrac{dx}{dt}=$ ____ (and $\tfrac{dy}{dt}\neq0$). · Una tangente vertical ocurre donde $\dfrac{dx}{dt}=$ ____ (y $\tfrac{dy}{dt}\neq0$).
Zero $\tfrac{dx}{dt}$ → undefined slope → vertical. · $\tfrac{dx}{dt}$ cero → pendiente indefinida → vertical.
The slope is $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — a ratio of the two derivatives, not $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ or $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$. And it's top over bottom: $\tfrac{dy}{dt}$ divided by $\tfrac{dx}{dt}$. Swapping them inverts the slope.
La pendiente es $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — un cociente de las dos derivadas, no $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ ni $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$. Y es numerador sobre denominador: $\tfrac{dy}{dt}$ dividido por $\tfrac{dx}{dt}$. Invertirlos invierte la pendiente.
For $x=t^2,\ y=t^3$, find $\dfrac{dy}{dx}$ at $t=2$.
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2$.
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$.
- At $t=2$: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$.
Para $x=t^2,\ y=t^3$, encuentra $\dfrac{dy}{dx}$ cuando $t=2$.
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2$.
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$.
- Cuando $t=2$: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$.
Parametric equations $x=f(t)$, $y=g(t)$ trace a curve as the parameter $t$ varies. The slope is $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ (top over bottom). A horizontal tangent has $\frac{dy}{dt}=0$; a vertical tangent has $\frac{dx}{dt}=0$.
Las ecuaciones paramétricas $x=f(t)$, $y=g(t)$ trazan una curva a medida que el parámetro $t$ varía. La pendiente es $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ (numerador sobre denominador). Una tangente horizontal tiene $\frac{dy}{dt}=0$; una tangente vertical tiene $\frac{dx}{dt}=0$.