The Arc Length of a Smooth, Planar Curve and Distance Traveled · La Longitud de Arco de una Curva Plana Suave y la Distancia Recorrida
| English | Español |
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| Arc length/ɑːk leŋθ/ | Longitud de arco |
Measuring the length of a curve
- Area and volume were integrals; so is the length of a curve itself.
- Arc length 弧长 adds up the lengths of tiny straight pieces along the curve.
- On each little piece, the curve is nearly a straight line — a hypotenuse of a small right triangle.
- Sum those hypotenuses (integrate) to get the total length.
Medir la longitud de una curva
- El área y el volumen eran integrales; lo mismo ocurre con la longitud de una curva.
- La longitud de arco 弧长 suma las longitudes de pequeños segmentos rectos a lo largo de la curva.
- En cada pequeño segmento, la curva es casi una línea recta — la hipotenusa de un pequeño triángulo rectángulo.
- Suma esas hipotenusas (integra) para obtener la longitud total.
From a small triangle to the formula
- A tiny piece has horizontal run $dx$ and vertical rise $dy=f'(x)\,dx$.
- Its length is $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ (Pythagoras).
- Add them from $a$ to $b$:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
De un pequeño triángulo a la fórmula
- Un pequeño segmento tiene una base horizontal $dx$ y una altura vertical $dy=f'(x)\,dx$.
- Su longitud es $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ (Teorema de Pitágoras).
- Súmalos desde $a$ hasta $b$:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
A curve is longer than its chord · Una curva es más larga que su cuerda
y = a·x^{1.5}
Arc length sums tiny hypotenuses $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ — always at least the horizontal distance $b-a$. · La longitud de arco suma pequeños hipotenusas $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ — siempre al menos la distancia horizontal $b-a$.
The arc length of $y=f(x)$ on $[a,b]$ is... · La longitud de arco de $y=f(x)$ en $[a,b]$ es...
Square the derivative, add 1, take the root. · Elevar al cuadrado la derivada, sumar 1, tomar la raíz.
Using the formula
- Compute $f'(x)$, square it, add $1$, take the square root, and integrate over $[a,b]$.
- The integrand is always $\ge1$, so arc length is at least the horizontal distance $b-a$ (a curve is longer than the straight line).
- Many arc-length integrals are hard by hand; on the BC exam you often set them up and evaluate numerically.
- The key skill is building the integrand correctly from $f'$.
Usando la fórmula
- Calcula $f'(x)$, súmalo al cuadrado, añade $1$, toma la raíz cuadrada e integra sobre $[a,b]$.
- El integrando es siempre $\ge1$, por lo que la longitud de arco es al menos la distancia horizontal $b-a$ (una curva es más larga que la línea recta).
- Muchas integrales de longitud de arco son difíciles de resolver a mano; en el examen BC a menudo se plantean y evalúan numéricamente.
- La habilidad clave es construir correctamente el integrando a partir de $f'$.
For · A favor $y=\tfrac23 x^{3/2}$, $f'(x)=x^{1/2}$. The arc-length integrand is... · Para $y=\tfrac23 x^{3/2}$, $f'(x)=x^{1/2}$. El integrando de longitud de arco es...
$(f')^2=x$, so $\sqrt{1+x}$. · $(f')^2=x$, por lo tanto $\sqrt{1+x}$.
Evaluate · Evaluación $\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$ (a decimal). · Evaluar $\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$ (un decimal).
$\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}\approx4.667$.
Because the integrand is $\ge 1$, the arc length is always at least... · Como el integrando es $\ge 1$, la longitud de arco es siempre al menos...
A curve is at least as long as the straight run. · Una curva es al tan larga como el trayecto recto.
Arc length as distance traveled
- If a particle moves along $y=f(x)$, the arc length is the distance it travels along the path.
- (For motion given by $x(t),y(t)$, the parametric version comes in lesson 9.3.)
- So this same integral measures both a curve's geometric length and a path's traveled distance.
- Setup is identical; only the interpretation changes.
Longitud de arco como distancia recorrida
- Si una partícula se mueve a lo largo de $y=f(x)$, la longitud de arco es la distancia que recorre a lo largo de la trayectoria.
- (Para un movimiento dado por $x(t),y(t)$, la versión paramétrica aparece en la lección 9.3.)
- Por tanto, esta misma integral mide tanto la longitud geométrica de una curva como la distancia recorrida en una trayectoria.
- El planteamiento es idéntico; solo cambia la interpretación.
The arc-length integrand uses the derivative $f'(x)$, not $f(x)$. · El integrando de longitud de arco usa la derivada $f'(x)$, no $f(x)$.
It is · Es $\sqrt{1+(f'(x))^2}$. · Es $\sqrt{1+(f'(x))^2}$.
Along a path $y=f(x)$, the arc length also measures the ____ traveled. · A lo largo de un camino $y=f(x)$, la longitud de arco también mide la ____ recorrida.
Arc length = distance traveled along the path. · Longitud de arco = distancia recorrida a lo largo del camino.
The integrand is $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ — the derivative is squared, and there's a $\boldsymbol{+1}$ inside the root, not outside. Don't write $\sqrt{1+f(x)^2}$ (using $f$ instead of $f'$) or forget the $+1$. And the whole thing is under one square root before integrating.
El integrando es $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ — la derivada está elevada al cuadrado, y hay un $\boldsymbol{+1}$ dentro de la raíz, no fuera. No escribas $\sqrt{1+f(x)^2}$ (usando $f$ en lugar de $f'$) ni olvides el $+1$. Y todo el conjunto debe estar bajo una sola raíz cuadrada antes de integrar.
Set up the arc length of $y=\tfrac23 x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$.
- $f'(x)=x^{1/2}$, so $\big(f'(x)\big)^2=x$.
- $L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
Plantea la longitud de arco de $y=\tfrac23 x^{3/2}$ desde $x=0$ hasta $x=3$.
- $f'(x)=x^{1/2}$, por lo que $\big(f'(x)\big)^2=x$.
- $L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
The arc length of $y=f(x)$ on $[a,b]$ is $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ — summing tiny hypotenuses $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$. Square the derivative, add $1$ inside the root, integrate. It also gives the distance traveled along the path.
La longitud de arco de $y=f(x)$ en $[a,b]$ es $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ — sumando pequeñas hipotenusas $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$. Eleva la derivada al cuadrado, añade $1$ dentro de la raíz, integra. También proporciona la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria.