Volume with Washer Method: Revolving Around Other Axes · Volumen con el Método de Arandelas: Rotación Alrededor de Otros Ejes
| English | Español |
|---|---|
| outer/ˈaʊtə/ | exterior |
| inner/ˈɪnə/ | interna |
Washers around a shifted line
- The last piece: revolve a two-curve region around a line that isn't the $x$- or $y$-axis.
- Combine the two ideas you just learned: washers (a gap → a ring) and a shifted axis (adjust the radius).
- The formula stays $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$; only $R$ and $r$ get re-measured to the new line.
- Get both distances right and the calculus is routine.
Anillos alrededor de un eje desplazado
- La última pieza: gira una región de dos curvas alrededor de una línea que no es el eje $x$ ni el eje $y$.
- Combina las dos ideas que acabas de aprender: anillos (un hueco → un anillo) y un eje desplazado (ajusta el radio).
- La fórmula sigue siendo $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$; solo $R$ y $r$ se vuelven a medir respecto a la nueva línea.
- Obtén ambas distancias correctamente y el cálculo será rutinario.
Both radii measured to the new axis
- For a horizontal axis $y=k$: $R=|\text{far curve}-k|$ and $r=|\text{near curve}-k|$.
- Each radius is the distance from its curve to the shifted line, not to $y=0$.
- The outer 外 radius reaches the curve farther from the axis; the inner 内 radius the nearer one.
- Then $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ as usual.
Ambos radios medidos al nuevo eje
- Para un eje horizontal $y=k$: $R=|\text{far curve}-k|$ y $r=|\text{near curve}-k|$.
- Cada radio es la distancia desde su curva hasta la línea desplazada, no hasta $y=0$.
- El radio exterior llega a la curva más lejana del eje; el radio interior a la más cercana.
- Luego $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ como de costumbre.
Two curves above a shifted axis · Dos curvas sobre un eje desplazado
y = ax² + bx
Revolving about $y=-1$, both radii grow by $1$ — outer $\sqrt x+1$, inner $x+1$; still $R^2-r^2$. · Rotando alrededor de $y=-1$, ambos radios aumentan en $1$ — exterior $\sqrt x+1$, interior $x+1$; sigue siendo $R^2-r^2$.
Revolving the region between $y=\sqrt x$ and · y $y=x$ about $y=-1$, the outer and inner radii are... · Al rotar la región entre $y=\sqrt x$ y $y=x$ alrededor de $y=-1$, los radios exterior e interior son...
Shift · Desplazamiento both · ambas radii by $+1$ down to $y=-1$. · Desplazar ambos radios en $+1$ hacia abajo hasta $y=-1$.
For a shifted axis, you must re-measure ____ radii (outer and inner) to the new line. · Para un eje desplazado, debe re-medir ____ radios (exterior e interior) a la nueva línea.
Shift both, not just one. · Desplace ambos, no solo uno.
Watch which curve is now farther
- Shifting the axis can swap which curve is outer vs. inner — re-check after moving the line.
- Revolving about a line below the region: the lower curve is now the inner one (nearer the axis).
- Revolving about a line above the region: the roles flip.
- Always identify outer/inner relative to the actual axis of revolution.
Observa qué curva está ahora más lejos
- Desplazar el eje puede invertir cuál curva es exterior e interior — vuelve a verificar después de mover la línea.
- Gira sobre una línea debajo de la región: la curva inferior es ahora la interior (más cerca del eje).
- Gira sobre una línea encima de la región: los roles se invierten.
- Identifica siempre el exterior/interior relativo al eje real de revolución.
After shifting the axis, you should... · Después de desplazar el eje, usted debería...
The axis position can swap outer/inner roles. · La posición del eje puede invertir los roles exterior/interior.
Still: square each radius first
- As with any washer, subtract $R^2-r^2$ — square the (shifted) radii before subtracting.
- Never $(R-r)^2$, and never reuse the plain-axis radii.
- Draw the two distance segments from the axis to each curve to keep them straight.
- Then integrate along the appropriate variable.
Todavía: eleva cada radio al cuadrado primero
- Al igual que con cualquier anillo, resta $R^2-r^2$ — eleva al cuadrado los radios (desplazados) antes de restar.
- Nunca $(R-r)^2$, y nunca reutilices los radios del eje simple.
- Dibuja los dos segmentos de distancia desde el eje hasta cada curva para mantenerlos claros.
- Luego integra a lo largo de la variable apropiada.
Even about a shifted axis, the washer integrand is $R^2-r^2$, not $(R-r)^2$. · Incluso con un eje desplazado, el integrando de arandela es $R^2-r^2$, no $(R-r)^2$.
Always square each radius before subtracting. · Siempre eleve al cuadrado cada radio antes de restar.
The volume for $R=\sqrt x+1$, $r=x+1$ on $[0,1]$ about $y=-1$ is... · El volumen para $R=\sqrt x+1$, $r=x+1$ en $[0,1]$ alrededor de $y=-1$ es...
$\pi\int_0^1(2\sqrt x-x-x^2)\,dx=\pi(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{2}$.
The shifted-washer method combines which two ideas? · El método de arandela desplazada combina cuáles dos ideas?
Washer (gap → ring) plus a shifted radius. · Arandela (hueco → anillo) más un radio desplazado.
Two combined pitfalls here: (1) shift both radii to the new axis (not just one), and (2) still use $R^2-r^2$, not $(R-r)^2$. After shifting, re-check which curve is outer — the axis's position can swap the roles. Sketch both radius segments to the actual line before squaring.
Aquí hay dos trampas combinadas: (1) desplaza ambos radios al nuevo eje (no solo uno), y (2) aún usa $R^2-r^2$, no $(R-r)^2$. Después de desplazar, vuelve a verificar qué curva es exterior — la posición del eje puede invertir los roles. Esboza ambos segmentos de radio hacia la línea real antes de elevarlos al cuadrado.
Revolve the region between $y=\sqrt x$ (top) and $y=x$ (bottom) on $[0,1]$ about the line $y=-1$.
- Shift both radii down to $y=-1$: outer $R=\sqrt x+1$, inner $r=x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\Big((\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\Big)\,dx=\pi\int_0^1\big(x+2\sqrt x - x^2 - 2x\big)\,dx$.
- $=\pi\int_0^1\big(2\sqrt x - x - x^2\big)\,dx=\pi\big(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13\big)=\tfrac{\pi}{2}$.
Gira la región entre $y=\sqrt x$ (superior) y $y=x$ (inferior) en $[0,1]$ alrededor de la línea $y=-1$.
- Desplaza ambos radios hacia abajo a $y=-1$: exterior $R=\sqrt x+1$, interior $r=x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\Big((\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\Big)\,dx=\pi\int_0^1\big(x+2\sqrt x - x^2 - 2x\big)\,dx$.
- $=\pi\int_0^1\big(2\sqrt x - x - x^2\big)\,dx=\pi\big(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13\big)=\tfrac{\pi}{2}$.
The washer method about a shifted axis: $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$, but re-measure both the outer and inner radii to that line (e.g. add the shift for $y=k$ below the region). Re-check which curve is outer, and always square each radius before subtracting — never $(R-r)^2$.
El método de anillos sobre un eje desplazado: $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$, pero vuelve a medir ambos los radios exterior e interior a esa línea (p. ej., suma el desplazamiento para $y=k$ debajo de la región). Vuelve a verificar qué curva es exterior, y eleva siempre al cuadrado cada radio antes de restar — nunca $(R-r)^2$.