Volume with Disc Method: Revolving Around Other Axes · Volumen con el Método de Discos: Rotación sobre otros Ejes
Spinning around a shifted line
- What if you revolve a region not around an axis, but around a line like $y=-1$ or $x=3$?
- The disc method still works — you just measure the radius from the curve to that shifted axis.
- The formula $V=\pi\int R^2$ is unchanged; only $R$ needs adjusting.
- Getting the radius right is the whole game.
Rotación alrededor de una línea desplazada
- ¿Qué sucede si giras una región no alrededor de un eje, sino alrededor de una línea como $y=-1$ o $x=3$?
- El método de los discos sigue funcionando; simplemente mides el radio desde la curva hasta ese eje desplazado.
- La fórmula $V=\pi\int R^2$ permanece igual; solo $R$ necesita ajustarse.
- Obtener correctamente el radio es toda la clave.
Radius = distance to the new axis
- Revolving about a horizontal line $y=k$: the radius is the vertical gap $R=|f(x)-k|$.
- Revolving about a vertical line $x=k$: the radius is the horizontal gap $R=|g(y)-k|$.
- Subtract the axis's value from the curve's value (in the right variable) to get the distance.
- Then square, multiply by $\pi$, and integrate as usual.
Radio = distancia al nuevo eje
- Al rotar alrededor de una línea horizontal $y=k$: el radio es la diferencia vertical $R=|f(x)-k|$.
- Al rotar alrededor de una línea vertical $x=k$: el radio es la diferencia horizontal $R=|g(y)-k|$.
- Resta el valor del eje al valor de la curva (en la variable correcta) para obtener la distancia.
- Luego eleva al cuadrado, multiplica por $\pi$ e integra como de costumbre.
The curve above a shifted axis · La curva sobre un eje desplazado
y = a·√x
Revolving about $y=-1$ makes the radius reach from the curve down to that line — $R=f(x)+1$, larger than $f(x)$. · Al rotar alrededor de $y=-1$, el radio se extiende desde la curva hasta esa línea — $R=f(x)+1$, mayor que $f(x)$.
Revolving $y=f(x)$ about the line $y=-1$, the radius is... · Al rotar $y=f(x)$ alrededor de la recta $y=-1$, el radio es...
Distance from $f(x)$ down to $y=-1$ is $f(x)-(-1)=f(x)+1$. · La distancia desde $f(x)$ hacia abajo hasta $y=-1$ es $f(x)-(-1)=f(x)+1$.
Revolving about $y=k$ (below the region), the radius of a curve $f(x)$ is... · Al rotar alrededor de $y=k$ (por debajo de la región), el radio de una curva $f(x)$ es...
Curve value minus axis value: $f(x)-k$. · Valor de la curva menos valor del eje: $f(x)-k$.
Revolving about a vertical line $x=k$, the radius is the ____ distance $|g(y)-k|$. · Al rotar alrededor de una recta vertical $x=k$, el radio es la distancia ____ $|g(y)-k|$.
For a vertical axis, measure horizontally. · Para un eje vertical, mide horizontalmente.
Axis below the region
- If the axis $y=k$ is below the region, the curve is above it, so $R=f(x)-k$ (a positive gap).
- Example: revolving about $y=-1$ a curve at height $f(x)$ gives radius $R=f(x)-(-1)=f(x)+1$.
- The "$+1$" is the extra distance down to the shifted axis.
- Always draw it: the radius reaches from the curve to the axis.
Eje debajo de la región
- Si el eje $y=k$ está debajo de la región, la curva se encuentra por encima de él, por lo que $R=f(x)-k$ (una diferencia positiva).
- Ejemplo: al rotar alrededor de $y=-1$ una curva a una altura $f(x)$, el radio es $R=f(x)-(-1)=f(x)+1$.
- El "$+1$" representa la distancia adicional hacia abajo hasta el eje desplazado.
- Siempre dibújalo: el radio llega desde la curva hasta el eje.
If the axis $y=3$ lies above the region (curve $f(x)<3$), the radius is... · Si el eje $y=3$ está encima de la región (curva $f(x)<3$), el radio es...
Distance is axis minus curve: $3-f(x)$ (a positive gap). · La distancia es eje menos curva: $3-f(x)$ (un espacio positivo).
Don't reuse the plain-axis radius
- The most common error is forgetting to shift: using $R=f(x)$ when the axis is $y=-1$.
- That underestimates the radius by the shift amount, giving a wrong (too small) volume.
- Rewrite the radius as (curve value) $-$ (axis value) every time the axis isn't $y=0$ or $x=0$.
- Sketching the distance segment prevents this slip.
No reutilices el radio del eje simple
- El error más común es olvidar desplazar: usar $R=f(x)$ cuando el eje es $y=-1$.
- Esto subestima el radio en la cantidad del desplazamiento, dando un volumen incorrecto (demasiado pequeño).
- Reescribe siempre el radio como (valor de la curva) $-$ (valor del eje) cada vez que el eje no sea $y=0$ ni $x=0$.
- Esbozar el segmento de distancia previene este error.
When revolving about $y=-1$, you can still use radius $R=f(x)$. · Al rotar alrededor de $y=-1$, aún puedes usar el radio $R=f(x)$.
You must shift: $R=f(x)+1$. · Debes desplazarlo: $R=f(x)+1$.
Revolving $y=\sqrt x$ on $[0,4]$ about $y=-1$ gives radius $\sqrt x+1$, so $V=$ · Al rotar $y=\sqrt x$ en $[0,4]$ alrededor de $y=-1$, el radio es $\sqrt x+1$, por lo tanto $V=$
$\pi\int_0^4(x+2\sqrt x+1)\,dx=\pi(8+\tfrac{32}{3}+4)=\tfrac{68\pi}{3}$.
For a shifted axis, the radius is the distance from the curve to that line, e.g. $R=f(x)-k$ for $y=k$ — not just $f(x)$. Revolving about $y=-1$ makes the radius larger (add $1$); about $y=3$ above the region makes it $3-f(x)$. Always measure to the correct axis before squaring.
Para un eje desplazado, el radio es la distancia desde la curva hasta esa línea, p. ej., $R=f(x)-k$ para $y=k$ — no simplemente $f(x)$. Rotar alrededor de $y=-1$ hace que el radio sea mayor (suma $1$); sobre $y=3$ por encima de la región se convierte en $3-f(x)$. Mide siempre hacia el eje correcto antes de elevar al cuadrado.
Revolve the region under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$ about the line $y=-1$.
- Radius reaches from the curve down to $y=-1$: $R(x)=\sqrt x-(-1)=\sqrt x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x+1)^2\,dx=\pi\int_0^4 \big(x+2\sqrt x+1\big)\,dx$.
- $=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{4}{3}x^{3/2}+x\Big]_0^4=\pi\big(8+\tfrac{32}{3}+4\big)=\tfrac{68\pi}{3}$.
Gira la región bajo $y=\sqrt x$ en $[0,4]$ alrededor de la línea $y=-1$.
- El radio va desde la curva hacia abajo hasta $y=-1$: $R(x)=\sqrt x-(-1)=\sqrt x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x+1)^2\,dx=\pi\int_0^4 \big(x+2\sqrt x+1\big)\,dx$.
- $=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{4}{3}x^{3/2}+x\Big]_0^4=\pi\big(8+\tfrac{32}{3}+4\big)=\tfrac{68\pi}{3}$.
The disc method about a shifted axis keeps $V=\pi\int R^2$, but the radius is the distance from the curve to that line: $R=f(x)-k$ for $y=k$, or $g(y)-k$ for $x=k$. Adjust $R$ for the shift (an axis below the region adds to the radius); never reuse the plain-axis radius.
El método de los discos alrededor de un eje desplazado mantiene $V=\pi\int R^2$, pero el radio es la distancia desde la curva hasta esa línea: $R=f(x)-k$ para $y=k$, o $g(y)-k$ para $x=k$. Ajusta $R$ por el desplazamiento (un eje debajo de la región suman al radio); nunca reutilices el radio del eje simple.