Volume with Disc Method: Revolving Around the x- or y-Axis · Volumen con el Método de Discos: Rotación alrededor del eje x o y
| English | Español |
|---|---|
| disc/dɪsk/ | disco |
| disc method/dɪsk ˈmeθəd/ | método de disco |
Spin a region into a solid
- Take a region, spin it around an axis, and it sweeps out a solid of revolution.
- Slice perpendicular to the axis and each slice is a thin disc 圆盘 (a coin).
- Add up the disc volumes: the disc method 圆盘法.
- It's the cross-section formula with circular slices.
Gira una región para formar un sólido
- Toma una región, gírala alrededor de un eje y barrerá un sólido de revolución.
- Si cortas perpendicularmente al eje, cada corte es un disco delgado 圆盘 (una moneda).
- Suma los volúmenes de los discos: el método de los discos 圆盘法.
- Es la fórmula de sección transversal con cortes circulares.
Each slice in the disc method is a... · Cada rebanada en el método de discos es un...
Revolving sweeps out circular discs. · La rotación genera discos circulares.
The disc formula
- Each disc is a circle of radius $R$ and thickness $dx$, so its volume is $\pi R^2\,dx$.
- If the region between $y=R(x)$ and the axis is revolved about the $x$-axis:
-
$$V=\pi\int_a^b \big[R(x)\big]^2\,dx$$
- The radius $R(x)$ is the distance from the curve to the axis of revolution — here just $f(x)$.
La fórmula del disco
- Cada disco es un círculo de radio $R$ y grosor $dx$, por lo que su volumen es $\pi R^2\,dx$.
- Si la región entre $y=R(x)$ y el eje se revuelve alrededor del eje $x$:
-
$$V=\pi\int_a^b \big[R(x)\big]^2\,dx$$
- El radio $R(x)$ es la distancia desde la curva hasta el eje de revolución — aquí simplemente $f(x)$.
The profile that spins into discs · El perfil que gira formando discos
y = a·√x
Revolving $y=\sqrt x$ about the $x$-axis stacks discs of radius $\sqrt x$ — volume $\pi\int R^2\,dx$. · Girar $y=\sqrt x$ alrededor del eje $x$ apila discos de radio $\sqrt x$ — volumen $\pi\int R^2\,dx$.
Revolving $y=R(x)$ about the $x$-axis, the volume is... · Girar $y=R(x)$ alrededor del eje $x$, el volumen es...
Each disc is $\pi R^2\,dx$. · Cada disco tiene volumen $\pi R^2\,dx$.
Revolving about the y-axis
- Spin about the $y$-axis instead? Slice horizontally and write the radius in terms of $y$.
-
$$V=\pi\int_c^d \big[R(y)\big]^2\,dy$$
- Now $R(y)$ is the horizontal distance from the curve $x=g(y)$ to the $y$-axis.
- Same formula, integrated in $y$, with the radius measured sideways.
Revolución alrededor del eje y
- ¿Girar alrededor del eje $y$ en su lugar? Corta horizontalmente y escribe el radio en términos de $y$.
-
$$V=\pi\int_c^d \big[R(y)\big]^2\,dy$$
- Ahora $R(y)$ es la distancia horizontal desde la curva $x=g(y)$ hasta el eje $y$.
- Misma fórmula, integrada respecto a $y$, con el radio medido lateralmente.
In the disc method, the radius $R$ is the ____ from the curve to the axis of revolution. · En el método de discos, el radio $R$ es la ____ desde la curva hasta el eje de rotación.
Radius = distance to the axis. · Radio = distancia al eje.
Revolving about the $y$-axis, you integrate in $y$ using... · Girar alrededor del eje $y$, integras en $y$ usando...
Match the variable to the axis: $y$-axis → $R(y)$, integrate in $y$. · Asigna la variable al eje: eje $y$ → $R(y)$, integra en $y$.
The radius is a distance
- The key skill: correctly identify $R$ as the distance from the curve to the axis.
- Revolving about the $x$-axis, a curve $y=f(x)$ gives radius $R=f(x)$ (its height).
- Revolving about the $y$-axis, a curve $x=g(y)$ gives radius $R=g(y)$.
- Square the radius, multiply by $\pi$, and integrate along the axis.
El radio es una distancia
- La habilidad clave: identificar correctamente $R$ como la distancia desde la curva hasta el eje.
- Al revolverse alrededor del eje $x$, una curva $y=f(x)$ da un radio de $R=f(x)$ (su altura).
- Al revolverse alrededor del eje $y$, una curva $x=g(y)$ da un radio de $R=g(y)$.
- Eleva el radio al cuadrado, multiplícalo por $\pi$ e integra a lo largo del eje.
Revolving $y=\sqrt x$ on $[0,4]$ about the $x$-axis ($R^2=x$) gives $V=$ · Girar $y=\sqrt x$ en $[0,4]$ alrededor del eje $x$ ($R^2=x$) da $V=$
$\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\cdot8=8\pi$.
The disc method includes a factor of $\pi$ and squares the radius. · El método de discos incluye un factor de $\pi$ y eleva al cuadrado el radio.
$V=\pi\int R^2$.
Don't forget the $\pi$ and the squaring — the disc method is $\pi\int R^2$, not $\int R$. And match the integration variable to the axis: revolve about the $x$-axis → integrate in $x$ with $R(x)$; about the $y$-axis → integrate in $y$ with $R(y)$. Mixing them is a common slip.
No olvides el $\pi$ y el cuadrado — el método de los discos es $\pi\int R^2$, no $\int R$. Y ajusta la variable de integración al eje: gira alrededor del eje $x$ → integra respecto a $x$ con $R(x)$; alrededor del eje $y$ → integra respecto a $y$ con $R(y)$. Mezclarlos es un error común.
Revolve the region under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$ about the $x$-axis.
- Radius $R(x)=\sqrt x$, so $R^2=x$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\pi$.
- Each disc is a circle of radius $\sqrt x$ stacked along the $x$-axis.
Gire la región bajo $y=\sqrt x$ sobre $[0,4]$ alrededor del eje $x$.
- Radio $R(x)=\sqrt x$, por lo tanto $R^2=x$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\pi$.
- Cada disco es un círculo de radio $\sqrt x$ apilado a lo largo del eje $x$.
The disc method revolves a region against an axis into circular slices: $V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx$ about the $x$-axis, or $\pi\int_c^d[R(y)]^2\,dy$ about the $y$-axis. The radius $R$ is the distance from the curve to the axis. Never drop the $\pi$ or the square.
El método de discos gira una región contra un eje para formar secciones circulares: $V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx$ alrededor del eje $x$, o $\pi\int_c^d[R(y)]^2\,dy$ alrededor del eje $y$. El radio $R$ es la distancia desde la curva hasta el eje. Nunca omita el $\pi$ ni el cuadrado.