Approximating Solutions Using Euler's Method · Aproximación de Soluciones Usando el Método de Euler
| English | Español |
|---|---|
| Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/ | método de Euler |
| step size/step saɪz/ | tamaño de paso |
Recorrer una solución paso a paso
- No todas las ecuaciones diferenciales se pueden resolver con una fórmula — pero aún puedes aproximar la solución numéricamente.
- El método de Euler 欧拉法 sigue el campo de pendientes en pequeños pasos rectos desde un punto inicial.
- En cada punto, usa la ecuación diferencial para obtener la pendiente, luego avanza a lo largo de ella.
- Repite y trazas una curva de solución aproximada.
La regla de actualización
- Dado $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ y un inicio $(x_0,y_0)$, toma un tamaño de paso 步长 fijo $h$:
-
$$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\qquad x_{n+1}=x_n+h$$
- El nuevo $y$ = antiguo $y$ + (pendiente allí) × (paso $h$).
- Es "valor actual más pendiente por paso" — un salto de línea tangente.
Stepping along the slope field · Avanzando a lo largo del campo de pendientes
Euler's method takes short straight steps along the slope field — smaller steps hug the true curve better. · El método de Euler da pequeños pasos rectos a lo largo del campo de pendientes: pasos más pequeños se ajustan mejor a la curva real.
Euler's update rule is $y_{n+1}=$ · La regla de actualización de Euler es $y_{n+1}=$
Old $y$ plus slope times step. · Valor anterior de $y$ más pendiente por paso.
The fixed increment $h$ used at each Euler step is called the ____ size. · El incremento fijo $h$ usado en cada paso de Euler se llama tamaño de ____.
$x$ advances by the step size $h$ each iteration. · $x$ avanza en una cantidad igual al tamaño de paso $h$ en cada iteración.
Marchando a través de una tabla
- Organiza el trabajo en una tabla: en cada fila, lee $(x_n,y_n)$, calcula la pendiente $f(x_n,y_n)$, luego obtén $y_{n+1}$.
- Avanza $x$ en $h$ cada fila y repite hasta llegar al objetivo $x$.
- Cada paso es solo aritmética; la ecuación diferencial proporciona la pendiente.
- Después de unas pocas filas tienes una aproximación $y$ en el objetivo.
For · A favor $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, $h=0.5$: the slope at $(0,1)$ is $1$. Find $y_1$. · Para $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, $h=0.5$: la pendiente en $(0,1)$ es $1$. Encuentre $y_1$.
$1+0.5(1)=1.5$.
Continuing ($y_1=1.5$ at $x=0.5$, slope $=2$), find $y(1)\approx y_2$. · Continuando ($y_1=1.5$ en $x=0.5$, pendiente $=2$), encuentre $y(1)\approx y_2$.
$1.5+0.5(2)=2.5$.
Precisión y tamaño de paso
- El método de Euler es solo una aproximación — sigue tangentes rectas, por lo que se desvía de la curva real.
- Un menor tamaño de paso $h$ da una estimación más precisa (pero más pasos).
- En una curva cóncava hacia arriba, Euler tiende a subestimar; cóncava hacia abajo, sobreestimar.
- Más pasos, menos error — el clásico compromiso de precisión.
Using a smaller step size $h$ generally makes Euler's estimate... · Usar un tamaño de paso $h$ más pequeño generalmente hace que la estimación de Euler...
Smaller steps drift less from the true curve. · Pasos más pequeños desvían menos de la curva real.
You must recompute the slope at each new point, not reuse the initial slope. · Debe recalcular la pendiente en cada nuevo punto, no reutilizar la pendiente inicial.
The slope $f(x_n,y_n)$ changes each step. · La pendiente $f(x_n,y_n)$ cambia en cada paso.
Usa la pendiente en el punto actual $(x_n,y_n)$ para cada paso, no una pendiente fija. Y cada paso actualiza ambos $x$ (en $h$) y $y$ (en $h\cdot f$). Un error común es reutilizar la pendiente inicial para todos los pasos — la pendiente debe recalcularse en cada nuevo punto.
Aproxima $y(1)$ para $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, con paso $h=0.5$.
- Paso 1: la pendiente en $(0,1)$ es $0+1=1$; $y_1=1+0.5(1)=1.5$, $x_1=0.5$.
- Paso 2: la pendiente en $(0.5,1.5)$ es $0.5+1.5=2$; $y_2=1.5+0.5(2)=2.5$, $x_2=1$.
- Así que $y(1)\approx 2.5$.
El método de Euler aproxima la solución de una ecuación diferencial mediante pasos a lo largo de las tangentes: $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ con un tamaño de paso fijo $h$, recalculando la pendiente en cada punto. Es aproximado (los pasos rectos se desvían de la curva); un tamaño de paso más pequeño $h$ mejora la precisión.