Finding General Solutions Using Separation of Variables · Encontrar Soluciones Generales Usando Separación de Variables
| English | Español |
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| separable/ˈsepərəbl/ | separable |
Get the $x$'s and $y$'s on opposite sides
- To actually solve a differential equation (not just sketch it), we integrate — but first we sort the variables.
- A differential equation is separable 可分离 if you can write it so one side has only $y$ and the other only $x$.
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ is the tell-tale form: a product of an $x$-part and a $y$-part.
- Then each side can be integrated on its own.
Separa las $x$ y las $y$ en lados opuestos
- Para resolver realmente una ecuación diferencial (no solo bosquejarla), integramos — pero primero debemos separar las variables.
- Una ecuación diferencial es separable si puedes escribirla de modo que un lado tenga únicamente $y$ y el otro únicamente $x$.
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ es la forma característica: un producto de una parte con $x$ y una parte con $y$.
- Entonces, cada lado puede integrarse por separado.
Which equation is separable? · ¿Cuál ecuación es separable?
$xy$ factors as ($x$-part)$\times$($y$-part); a sum does not. · $xy$ se factoriza como (parte de $x$)$\times$(parte de $y$); una suma no lo hace.
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$ is not separable because you cannot split a ____. · $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ no es separable porque no se puede dividir una ____.
Separation needs a product, not a sum. · La separación requiere un producto, no una suma.
Separate the variables
- Treat $\dfrac{dy}{dx}$ as a ratio of differentials and move each variable to its own side.
- From $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$: divide by $h(y)$ and multiply by $dx$:
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- Now each side involves only one variable and its differential — ready to integrate.
Separa las variables
- Trata $\dfrac{dy}{dx}$ como una razón de diferenciales y mueve cada variable a su propio lado.
- De $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$: divide por $h(y)$ y multiplica por $dx$:
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- Ahora cada lado involucra solo una variable y su diferencial — listo para integrar.
Separating $\dfrac{dy}{dx}=xy$ gives... · Separando $\dfrac{dy}{dx}=xy$ se obtiene...
Divide by $y$, multiply by $dx$: $\tfrac1y\,dy=x\,dx$. · Dividir por $y$, multiplicar por $dx$: $\tfrac1y\,dy=x\,dx$.
Integrate both sides
- Integrate the left in $y$ and the right in $x$: $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$.
- Add a single constant $+C$ (one is enough — combine both sides' constants).
- Then solve for $y$ if you can, to get the general solution.
- The result is a family of functions with the constant $C$.
Integra ambos lados
- Integra el lado izquierdo respecto a $y$ y el derecho respecto a $x$: $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$.
- Añade una sola constante $+C$ (con una basta; se combinan las constantes de ambos lados).
- Luego despeja $y$ si es posible, para obtener la solución general.
- El resultado es una familia de funciones con la constante $C$.
The general solution is a family · La solución general es una familia
Solving $\tfrac{dy}{dx}=ay$ gives $y=Ce^{ax}$ — one curve per constant, all fitting the same field. · Resolver $\tfrac{dy}{dx}=ay$ da como resultado $y=Ce^{ax}$ — una curva por constante, todas ajustándose al mismo campo.
Integrating $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ gives... · Integrando $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ se obtiene...
$\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$; $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$; add $+C$. · $\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$; $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$; agregar $+C$.
Keep the $+C$ (and solve for $y$)
- The constant of integration is what makes this a family — never drop it.
- Often you'll exponentiate or rearrange to isolate $y$; the $C$ transforms but stays.
- Leaving the answer as an implicit relation is fine if $y$ can't be cleanly isolated.
- A later initial condition (lesson 7.7) will nail down $C$.
Mantén el $+C$ (y despeja $y$)
- La constante de integración es lo que convierte esto en una familia — nunca la omitas.
- A menudo deberás exponentiar o reorganizar para aislar $y$; la $C$ se transforma pero permanece.
- Dejar la respuesta como una relación implícita está bien si $y$ no puede aislarse limpiamente.
- Una condición inicial posterior (lección 7.7) determinará el valor específico de $C$.
You should include the constant $+C$ when solving a differential equation by separation. · Se debe incluir la constante $+C$ al resolver una ecuación diferencial por separación.
The · El $+C$ gives the general (family of) solutions. · El $+C$ proporciona las soluciones generales (la familia de soluciones).
The general solution of $\dfrac{dy}{dx}=xy$ is... · La solución general de $\dfrac{dy}{dx}=xy$ es...
Exponentiate $\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$ to get $y=A e^{x^2/2}$. · Exponencial $\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$ para obtener $y=A e^{x^2/2}$.
Separation works only if the equation factors as (function of $x$) $\times$ (function of $y$). Something like $\frac{dy}{dx}=x+y$ is not separable — you can't split a sum. And don't forget the $+C$ after integrating: without it you have one curve, not the general family.
La separación funciona solo si la ecuación se factoriza como (función de $x$) $\times$ (función de $y$). Algo como $\frac{dy}{dx}=x+y$ no es separable — no se puede dividir una suma. Y no olvides el $+C$ después de integrar: sin él obtienes una sola curva, no la familia general.
Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ (general solution).
- Separate: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$.
- Integrate: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$.
- Exponentiate: $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ (writing $A=e^C$). General solution: $y=A\,e^{x^2/2}$.
Resuelve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ (solución general).
- Separa: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$.
- Integra: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$.
- Exponencia: $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ (escribiendo $A=e^C$). Solución general: $y=A\,e^{x^2/2}$.
Separation of variables solves a separable equation $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$: rearrange to $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$, integrate both sides (one $+C$), and solve for $y$ to get the general solution. It only works when the equation factors into an $x$-part times a $y$-part.
La separación de variables resuelve una ecuación separable $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$: reordena para obtener $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$, integra ambos lados (con una sola $+C$), y despeja $y$ para obtener la solución general. Solo funciona cuando la ecuación se factoriza en una parte con $x$ multiplicada por una parte con $y$.