Integrating Using Linear Partial Fractions · Integración usando Fracciones Parciales Lineales
| English | Español |
|---|---|
| Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | Fracciones parciales |
| linear factor/ˈlɪnɪə ˈfæktə/ | factor lineal |
Break one hard fraction into easy ones
- Some rational functions can't be integrated directly, but split apart they become simple logs.
- Partial fractions 部分分式 rewrites one fraction as a sum of smaller fractions.
- Each piece has a single linear factor 一次因式 in its denominator — easy to integrate as a $\ln$.
- It's the reverse of adding fractions over a common denominator.
Descomponer una fracción compleja en otras simples
- Algunas funciones racionales no se pueden integrar directamente, pero al descomponerlas se convierten en logaritmos sencillos.
- Fracciones parciales 部分分式 reescribe una fracción como una suma de fracciones más pequeñas.
- Cada parte tiene un único factor lineal 一次因式 en su denominador —fácil de integrar como un $\ln$.
- Es el proceso inverso a sumar fracciones con un denominador común.
Set up the decomposition
- Start with a rational function whose denominator factors into distinct linear factors.
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ for constants $A,B$ to be found.
- Each distinct linear factor $(x-r)$ gets its own term $\dfrac{\text{constant}}{x-r}$.
- (The numerator's degree must be less than the denominator's — divide first if not.)
Establecer la descomposición
- Comience con una función racional cuyo denominador se factorice en factores lineales distintos.
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ para las constantes $A,B$ por determinar.
- Cada factor lineal distinto $(x-r)$ recibe su propio término $\dfrac{\text{constant}}{x-r}$.
- (El grado del numerador debe ser menor que el del denominador; divida primero si no es así.)
A rational function to split · Una función racional para descomponer
y = a / (x − b)
A fraction over $(x-1)(x+2)$ has two vertical asymptotes; partial fractions splits it into two simple $\ln$ pieces. · Una fracción sobre $(x-1)(x+2)$ tiene dos asíntotas verticales; las fracciones parciales la dividen en dos términos simples de $\ln$.
The partial-fraction form of $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ is... · La forma de fracciones parciales de $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ es...
One constant over each distinct linear factor. · Una constante sobre cada factor lineal distinto.
If the numerator degree is not less than the denominator degree, you must divide first. · Si el grado del numerador no es menor que el del denominador, primero debe dividir.
Partial fractions needs a proper fraction. · Las fracciones parciales requieren una fracción propia.
This lesson handles denominators that factor into distinct ____ factors. · Esta lección trata con denominadores que se factorizan en factores ____ distintos.
Distinct linear factors $(x-r)$. · Factores lineales distintos $(x-r)$.
Solve for the constants
- Multiply both sides by the common denominator to clear fractions.
- Then find $A,B$ by matching coefficients or by plugging in the roots (a fast shortcut).
- For $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$: at $x=1$, $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$; at $x=-2$, $1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$.
- Now the integral is a sum of simple pieces.
Resolver para las constantes
- Multiplique ambos lados por el denominador común para eliminar las fracciones.
- Luego encuentre $A,B$ igualando coeficientes o evaluando en las raíces (un atajo rápido).
- Para $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$: en $x=1$, $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$; en $x=-2$, $1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$.
- Ahora la integral es una suma de piezas simples.
For · A favor $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, find $A$ (plug $x=1$). · Para $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, encuentre $A$ (sustituya $x=1$).
At $x=1$: $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$. · En $x=1$: $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$.
Integrate the pieces
- Each $\dfrac{A}{x-r}$ integrates to $A\ln|x-r|$.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- So a messy rational integral becomes a combination of logarithms.
- Combine or leave the logs as the answer prefers.
Integrar las piezas
- Cada $\dfrac{A}{x-r}$ se integra a $A\ln|x-r|$.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- Así, una integral racional compleja se convierte en una combinación de logaritmos.
- Combine o deje los logaritmos tal como lo prefiera la respuesta.
Each partial-fraction piece $\dfrac{A}{x-r}$ integrates to... · Cada término de fracciones parciales $\dfrac{A}{x-r}$ se integra como...
$\int\tfrac{A}{x-r}\,dx=A\ln|x-r|$.
$\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ (with $A=1$, $B=-1$) equals... · $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ (con $A=1$, $B=-1$) es igual a...
Integrate $\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$. · Integre $\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$.
Partial fractions needs the numerator degree less than the denominator's — if not, do long division first. And it requires the denominator to actually factor into linear pieces; a repeated factor $(x-r)^2$ or an irreducible quadratic needs extra terms (beyond this lesson's distinct linear case). Each distinct factor gets exactly one constant.
Las fracciones parciales requieren que el grado del numerador sea menor que el del denominador; si no, realice la división larga primero. Además, exige que el denominador realmente se factorice en partes lineales; un factor repetido $(x-r)^2$ o un cuadrático irreducible necesitan términos adicionales (más allá del caso de este tema: factores lineales distintos). A cada factor distinto le corresponde exactamente una constante.
Evaluate $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$.
- Decompose: $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$. At $x=1$: $5=5A\Rightarrow A=1$; at $x=-4$: $5=-5B\Rightarrow B=-1$.
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
Evalúe $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$.
- Descomponga: $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$. En $x=1$: $5=5A\Rightarrow A=1$; en $x=-4$: $5=-5B\Rightarrow B=-1$.
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
Partial fractions splits a rational function with distinct linear factors into a sum $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$; find the constants (match coefficients or plug in roots), then integrate each piece to a $\ln$. Requires numerator degree $<$ denominator degree — divide first otherwise.
Fracciones parciales descompone una función racional con factores lineales distintos en una suma $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$; encuentre las constantes (igualando coeficientes o evaluando raíces) y luego integre cada pieza a un $\ln$. Requiere que el grado del numerador sea $<$ el del denominador; divida primero de lo contrario.