Evaluating Improper Integrals · Evaluación de integrales impropias
| English | Español |
|---|---|
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | integral impropia |
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | límite infinito |
| unbounded integrand/ʌnˈbaʊndɪd ˈɪntɪɡrænd/ | integrando no acotado |
Integrating over the infinite (or the unbounded)
- A normal definite integral has finite limits and a finite integrand. An improper integral 反常积分 breaks one of those.
- Two ways it goes improper: an infinite limit 无穷极限 of integration (like $\int_1^\infty$), or an unbounded integrand 无界被积函数 (a vertical asymptote inside the interval).
- We can't just "plug in $\infty$" or evaluate at a blow-up, so we use a limit.
- The integral converges if that limit is a finite number, and diverges otherwise.
Integración sobre el infinito (o la no acotación)
- Una integral definida normal tiene límites finitos y un integrando finito. Una integral impropia rompe uno de esos requisitos.
- De dos formas se vuelve impropia: un límite infinito de integración (como $\int_1^\infty$), o un integrando no acotado (una asíntota vertical dentro del intervalo).
- No podemos simplemente "sustituir $\infty$" ni evaluar en un punto de explosión, por lo que utilizamos un límite.
- La integral converge si ese límite es un número finito, y diverge en caso contrario.
An integral is improper when... · Una integral es impropia cuando...
Infinite limit or unbounded integrand → improper. · Límite infinito o integrando no acotado → impropia.
You can evaluate an improper integral by directly substituting $\infty$ into the antiderivative. · Puede evaluar una integral impropia sustituyendo directamente $\infty$ en la antiderivada.
You must take a limit instead. · Debe tomar un límite en su lugar.
Infinite limits → a limit
- Replace the infinite limit with a variable, integrate, then let it run to infinity:
-
$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$
- Compute the ordinary integral up to $b$, then take the limit as $b\to\infty$.
- If the limit is finite, the improper integral converges to it.
Límites infinitos → un límite
- Reemplace el límite infinito con una variable, integre y luego hágala tender a infinito:
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$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$
- Calcule la integral ordinaria hasta $b$, luego tome el límite cuando $b\to\infty$.
- Si el límite es finito, la integral impropia converge a él.
The infinite tail under 1/x² · La cola infinita bajo 1/x²
y = 1/x²
The area under $1/x^2$ from $1$ to · hasta $\infty$ is finite ($=1$) even though the region never ends — a convergent improper integral. · El área bajo $1/x^2$ desde $1$ hasta $\infty$ es finita ($=1$) aunque la región nunca termina — una integral impropia convergente.
$\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$ is defined as... · $\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$ se define como...
It is the limit of the proper integral. · Es el límite de la integral propia.
Unbounded integrand → a limit at the trouble point
- If $f$ blows up at an endpoint $c$, approach it with a limit instead of evaluating there:
- $\displaystyle\int_a^c f\,dx=\lim_{t\to c^-}\int_a^t f\,dx$ (and similarly from the other side).
- $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt x}\,dx$ is improper at $0$ — take $\lim_{t\to0^+}\int_t^1$.
- Same principle: sneak up on the singularity with a limit.
Integrando no acotado → un límite en el punto problemático
- Si $f$ explota en un extremo $c$, aproxímese a él mediante un límite en lugar de evaluar directamente allí:
- $\displaystyle\int_a^c f\,dx=\lim_{t\to c^-}\int_a^t f\,dx$ (y de manera similar desde el otro lado).
- $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt x}\,dx$ es impropia en $0$ — tome $\lim_{t\to0^+}\int_t^1$.
- Mismo principio: acerquese a la singularidad con un límite.
Evaluate · Evaluación $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$. · Evaluar $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
$\lim_{b\to\infty}(1-\tfrac1b)=1$.
Converge or diverge
- Converges: the limit is a finite number — that number is the value.
- Diverges: the limit is infinite or does not exist — the integral has no finite value.
- A famous pair: $\int_1^\infty\tfrac{1}{x}\,dx$ diverges, but $\int_1^\infty\tfrac{1}{x^2}\,dx$ converges (to $1$).
- The difference — same-looking integrands, opposite fates — is the whole point.
Converger o divergir
- Converge: el límite es un número finito — ese número es el valor.
- Diverge: el límite es infinito o no existe — la integral no tiene un valor finito.
- Un par famoso: $\int_1^\infty\tfrac{1}{x}\,dx$ diverge, pero $\int_1^\infty\tfrac{1}{x^2}\,dx$ converge (a $1$).
- La diferencia — integrandos con apariencia similar, destinos opuestos — es la esencia del asunto.
What happens to $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x}\,dx$? · ¿Qué sucede con $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x}\,dx$?
$\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ → diverges. · $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ → diverge.
An improper integral ____ if its defining limit is a finite number. · Una integral impropia ____ si su límite definitorio es un número finito.
Finite limit → converges. · Límite finito → converge.
You cannot treat an improper integral like a normal one — plugging in $\infty$ or a blow-up point is meaningless. Always rewrite it as a limit and evaluate that limit. And spot interior singularities: if the integrand blows up inside $[a,b]$, split the integral at that point and handle each piece separately.
No puede tratar una integral impropia como una normal; sustituir $\infty$ o un punto de explosión no tiene sentido. Siempre reescriba como un límite y evalúe ese límite. Además, identifique singularidades internas: si el integrando explota dentro de $[a,b]$, divida la integral en ese punto y maneje cada parte por separado.
Evaluate $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
- Rewrite: $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\Big[-\tfrac1x\Big]_1^b$.
- $=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Big(-\tfrac1b+1\Big)=0+1=1$.
- The limit is finite, so the integral converges to $1$.
Evalúe $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
- Reescriba: $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\Big[-\tfrac1x\Big]_1^b$.
- $=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Big(-\tfrac1b+1\Big)=0+1=1$.
- El límite es finito, por lo que la integral converge a $1$.
An improper integral has an infinite limit or an unbounded integrand. Rewrite it as a limit of a proper integral: $\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f$ (or a limit approaching a singularity). It converges if the limit is finite, and diverges otherwise.
Una integral impropia tiene un límite infinito o un integrando no acotado. Reescribala como un límite de una integral propia: $\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f$ (o un límite acercándose a una singularidad). Converge si el límite es finito, y diverge en caso contrario.