Straight-Line Motion: Connecting Position, Velocity, and Acceleration · Movimiento en Línea Recta: Conexión entre Posición, Velocidad y Aceleración
| English | Español |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | la posición |
| velocity/vəˈlɒsɪti/ | velocidad |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | la aceleración |
| speed/spiːd/ | velocidad |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | desplazamiento |
Position, velocity, acceleration — a derivative chain
- Motion along a line is the classic home of the derivative.
- Position 位置 $s(t)$ says where the object is at time $t$.
- Its derivative is velocity 速度 $v(t)=s'(t)$ — how fast and which way.
- The derivative of velocity is acceleration 加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)$.
Posición, velocidad y aceleración — una cadena de derivadas
- El movimiento a lo largo de una recta es el hogar clásico de la derivada.
- Posición 位置 $s(t)$ indica dónde se encuentra el objeto en el tiempo $t$.
- Su derivada es la velocidad 速度 $v(t)=s'(t)$: qué tan rápido y en qué dirección.
- La derivada de la velocidad es la aceleración 加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)$.
A position-time curve · Una curva de posición-tiempo
y = ax³ + bx² + cx
The slope of this position curve is velocity; where it levels off ($v=0$) the object is momentarily at rest. · La pendiente de esta curva de posición es la velocidad; donde se niveló ($v=0$), el objeto está momentáneamente en reposo.
Velocity is the derivative of... · La velocidad es la derivada de...
$v=s'$: velocity is the derivative of position. · $v=s'$: la velocidad es la derivada de la posición.
Velocity carries a sign
- Velocity is signed: $v>0$ means moving in the positive direction, $v<0$ the negative direction.
- Speed 速率 is the size only, $|v|$ — always non-negative.
- The object is at rest when $v(t)=0$ (momentarily stopped).
- A sign change in $v$ means the object turned around.
La velocidad lleva un signo
- La velocidad es signada: $v>0$ significa moverse en la dirección positiva, $v<0$ la dirección negativa.
- La rapidez 速率 es solo el valor absoluto, $|v|$ — siempre no negativo.
- El objeto está en reposo cuando $v(t)=0$ (detenido momentáneamente).
- Un cambio de signo en $v$ significa que el objeto dio media vuelta.
For · A favor $v(t)=3t^2-12t+9$, the object is at rest when $v=0$. One such time is $t=1$; find the other · otra time. · Para $v(t)=3t^2-12t+9$, el objeto está en reposo cuando $v=0$. Un tiempo es $t=1$; encuentre el tiempo otro.
$3(t^2-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0\Rightarrow t=1$ or $t=3$. · $3(t^2-4t+3)=3(t-1)(t-3)=0\Rightarrow t=1$ o $t=3$.
Speed is the absolute value of velocity, so speed is never negative. · La rapidez es el valor absoluto de la velocidad, por lo que la rapidez nunca es negativa.
Speed · Velocidad $=|v|\ge0$; velocity carries a sign. · Rapidez $=|v|\ge0$; la velocidad lleva un signo.
Speeding up or slowing down?
- Compare the signs of velocity and acceleration:
- Same sign ($v$ and $a$ both $+$, or both $-$) → the object is speeding up.
- Opposite signs → the object is slowing down.
- (Intuition: acceleration pushing the same way as motion adds speed; pushing against it removes speed.)
¿Acelerando o desacelerando?
- Compara los signos de velocidad y aceleración:
- Mismo signo ($v$ y $a$ ambos $+$, o ambos $-$) → el objeto está acelerando.
- Signos opuestos → el objeto está desacelerando.
- (Intuición: si la aceleración empuja en la misma dirección del movimiento, aumenta la rapidez; si empuja en contra, la disminuye.)
An object is speeding up when velocity and acceleration have... · Un objeto aumenta su rapidez cuando la velocidad y la aceleración tienen...
Same sign → speeding up; opposite → slowing down. · Mismo signo → aumentando rapidez; opuesto → disminuyendo rapidez.
At $t=1$, $v=-2$ and · y $a=-6$. Select all · todos true statements. · En $t=1$, $v=-2$ y $a=-6$. Seleccione todas las afirmaciones verdaderas.
$v<0$ (negative direction), $v,a$ same sign (speeding up), $|v|=2$. It is not at rest ($v\neq0$). · $v<0$ (dirección negativa), $v,a$ mismo signo (aumentando rapidez), $|v|=2$. No está en reposo ($v\neq0$).
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- Displacement 位移 over $[t_1,t_2]$ is $s(t_2)-s(t_1)$ — net change in position (can be zero even after moving).
- Direction of motion = sign of $v$; turning points are where $v=0$ and changes sign.
- From $s(t)$ you can get everything by differentiating: $v=s'$, then $a=v'$.
- This chain — position → velocity → acceleration — is one of the most tested ideas in the course.
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- Desplazamiento 位移 durante $[t_1,t_2]$ es $s(t_2)-s(t_1)$ — cambio neto en la posición (puede ser cero incluso después de haberse movido).
- Dirección del movimiento = signo de $v$; los puntos de giro son donde $v=0$ y cambia de signo.
- De $s(t)$ puedes obtenerlo todo derivando: $v=s'$, luego $a=v'$.
- Esta cadena — posición → velocidad → aceleración — es una de las ideas más evaluadas del curso.
The net change in position over an interval, $s(t_2)-s(t_1)$, is called the ____. · El cambio neto en la posición sobre un intervalo, $s(t_2)-s(t_1)$, se llama ____.
Displacement is net change in position. · El desplazamiento es el cambio neto en la posición.
"Speeding up" is not the same as "positive acceleration." An object with $v<0$ and $a<0$ is speeding up (moving faster in the negative direction). Always compare the signs of $v$ and $a$: same sign → speeding up, opposite signs → slowing down. And velocity (signed) is not speed ($|v|$).
"Acercar" no es lo mismo que "aceleración positiva". Un objeto con $v<0$ y $a<0$ está acelerando (moviéndose más rápido en la dirección negativa). Siempre compara los signos de $v$ y $a$: mismo signo → acelerando, signos opuestos → desacelerando. Y la velocidad (signada) no es la rapidez ($|v|$).
$s(t)=t^3-6t^2+9t$ (metres, seconds). Analyze the motion at $t=1$.
- $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9$; $\;v(1)=3-12+9=0$ — the object is momentarily at rest.
- $a(t)=v'(t)=6t-12$; $\;a(1)=-6$.
- Just after $t=1$, $v$ turns negative while $a<0$ (same sign) → it speeds up moving in the negative direction.
$s(t)=t^3-6t^2+9t$ (metros, segundos). Analiza el movimiento en $t=1$.
- $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9$; $\;v(1)=3-12+9=0$ — el objeto está momentáneamente en reposo.
- $a(t)=v'(t)=6t-12$; $\;a(1)=-6$.
- Justo después de $t=1$, $v$ se vuelve negativo mientras que $a<0$ (mismo signo) → el objeto acelera moviéndose en la dirección negativa.
For straight-line motion, velocity $v=s'$ and acceleration $a=v'=s''$. Velocity is signed (direction); speed is $|v|$; the object is at rest when $v=0$. Compare signs: $v$ and $a$ the same → speeding up, opposite → slowing down. Displacement over an interval is the net change $s(t_2)-s(t_1)$.
Para el movimiento en línea recta, la velocidad $v=s'$ y la aceleración $a=v'=s''$. La velocidad es con signo (dirección); la rapidez es $|v|$; el objeto está en reposo cuando $v=0$. Compare los signos: si $v$ y $a$ son lo mismo → acelerando, si son opuestos → desacelerando. El desplazamiento en un intervalo es el cambio neto $s(t_2)-s(t_1)$.