Encontrar el Área entre Curvas que se Intersecan en Más de Dos Puntos
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| subintervals/ˌsʌbɪnˈtɜːvlz/ | subintervalos |
Cuando las curvas se cruzan más de dos veces
- A veces dos curvas se cruzan más de dos veces, y la curva "superior" cambia a lo largo del camino.
- Una única integral superior-menos-inferior entonces daría el signo incorrecto en parte de la región.
- La solución: dividir la región en cada punto de cruce e integrar cada pieza por separado.
- Sumar las áreas (positivas) de las piezas para obtener el total.
Encontrar todas las intersecciones primero
- Resolver $f(x)=g(x)$ completamente — encontrar todos los puntos de cruce en el intervalo, no solo los extremos.
- Estos cruces son los límites de los subintervalos donde el orden está fijo.
- Ordenarlos de izquierda a derecha a lo largo del eje $x$.
- Cada par adyacente de cruces enmarca una pieza de la región.
Una cúbica que cruza una línea 3 veces
y = ax³ + bx
$y=x^3$ y $y=x$ se cruzan en $-1,0,1$; la curva superior cambia en $0$, por lo que el área necesita dos partes.
¿Dónde se cruzan $y=x^3$ y $y=x$?
$x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$.
Los puntos de intersección dividen la región en ____ donde el orden es fijo.
En cada subintervalo, una curva está consistentemente por encima de la otra.
Dividir donde cambian la superior e inferior
- En cada subintervalo, una curva está consistentemente arriba; probar un punto para ver cuál es.
- Plantear una integral separada de (superior $-$ inferior) para cada subintervalo, usando la curva superior correcta allí.
- Como la curva superior cambia entre piezas, los integrandos difieren de una pieza a otra.
- El área total es la suma de estas integrales separadas.
Divides la región en cada intersección porque...
Donde las curvas cambian, parte de la región contaría como negativa.
Usar una integral de $f-g$ a través de todas las intersecciones (curvas que cambian) da...
La cancelación de signos subestima el área real.
Sumar las áreas absolutas
- Cada integral de subintervalo, hecha con el correcto superior-menos-inferior, es positiva.
- Sumarlos: $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- Equivalentemente, $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — la brecha absoluta, integrada.
- Ambas perspectivas dan la misma área geométrica total.
Para $y=x^3$ y $y=x$ en $[-1,1]$, cada pieza tiene área $\tfrac14$. Encuentra el área total.
$\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Integrar $|f(x)-g(x)|$ sobre todo el intervalo da la misma área total que dividirla.
El valor absoluto maneja el cambio automáticamente.
No uses una sola integral de $f-g$ a través de todos los cruces — donde las curvas cambian, parte de la región contribuye con un valor negativo y cancela área real. Debes dividir en cada intersección y tomar superior-menos-inferior correctamente en cada pieza (o integrar $|f-g|$). Encuentra todos los cruces, no solo los extremos.
Área entre $y=x^3$ y $y=x$ en $[-1,1]$.
- Cruces: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — tres puntos.
- En $(-1,0)$: $x^3>x$ (prueba $-0.5$). En $(0,1)$: $x>x^3$ (prueba $0.5$). La curva superior cambia en $0$.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Cuando las curvas se intersectan más de dos veces, encuentra todos los puntos de intersección, divide la región en subintervalos, e integra superior menos inferior en cada uno (la curva superior cambia entre ellos). Suma las piezas — equivalentemente, integra $|f(x)-g(x)|$. Una sola integral recta de $f-g$ cancelaría erróneamente el área.