Finding the Average Value of a Function on an Interval · Encontrar el valor promedio de una función en un intervalo
| English | Español |
|---|---|
| average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/ | valor promedio |
The average height of a curve
- You can average a list of numbers — but how do you average a function, which has infinitely many values?
- Integration does it: the average value 平均值 of $f$ on $[a,b]$ is its total accumulation divided by the width.
- Picture the area under the curve reshaped into a rectangle of the same width — its height is the average.
- It's the calculus version of "add them up and divide by how many."
La altura promedio de una curva
- Puedes promediar una lista de números — pero ¿cómo promedias una función, que tiene infinitos valores?
- La integración lo hace: el valor promedio de $f$ en $[a,b]$ es su acumulación total dividida por el ancho.
- Imagina el área bajo la curva reconfigurada como un rectángulo del mismo ancho — su altura es el promedio.
- Es la versión del cálculo de "sumarlos y dividir entre cuántos hay".
The formula
- The average value of $f$ on $[a,b]$ is
-
$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
- Compute the definite integral (the total), then divide by the interval length $b-a$.
- Units: same as $f$ itself (it's an average height, not an area).
La fórmula
- El valor promedio de $f$ en $[a,b]$ es
-
$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
- Calcula la integral definida (el total) y luego divide por la longitud del intervalo $b-a$.
- Unidades: las mismas que las de $f$ misma (es una altura promedio, no un área).
The equal-area rectangle · El rectángulo de área igual
y = x²
The average value is the constant height whose rectangle encloses the same area as the curve over $[a,b]$. · El valor promedio es la altura constante cuyo rectángulo encierra la misma área que la curva sobre $[a,b]$.
The average value of $f$ on $[a,b]$ is... · El valor promedio de $f$ en $[a,b]$ es...
Total divided by width. · Total dividido por el ancho.
The average value has the same ____ as the function $f$, not the units of an area. · El valor promedio tiene las mismas ____ que la función $f$, no las unidades de un área.
It is an average height, not an area. · Es una altura promedio, no un área.
It's the "leveling out" height
- The average value is the constant height that gives the same area over $[a,b]$.
- $\displaystyle\int_a^b f_{\text{avg}}\,dx = f_{\text{avg}}(b-a)=\int_a^b f\,dx$ — the rectangle and the region match.
- So $f_{\text{avg}}$ is where you'd "level off" the curve to keep the same accumulated total.
- (The Mean Value Theorem for Integrals guarantees $f$ actually hits this average somewhere if $f$ is continuous.)
Es la altura de "nivelación"
- El valor promedio es la altura constante que produce el mismo área sobre $[a,b]$.
- $\displaystyle\int_a^b f_{\text{avg}}\,dx = f_{\text{avg}}(b-a)=\int_a^b f\,dx$ — el rectángulo y la región coinciden.
- Por tanto, $f_{\text{avg}}$ es donde "nivelarías" la curva para mantener el mismo total acumulado.
- (El Teorema del Valor Medio para Integrales garantiza que $f$ realmente alcanza este promedio en algún punto si $f$ es continua.)
Find the average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$. ($\int_0^3 x^2\,dx=9$.) · Encuentre el valor promedio de $f(x)=x^2$ en $[0,3]$. ($\int_0^3 x^2\,dx=9$.)
$\tfrac{1}{3}\cdot 9=3$.
Geometrically, the average value is the height of a rectangle (width $b-a$) with the same... · Geométricamente, el valor promedio es la altura de un rectángulo (ancho $b-a$) con la misma...
The equal-area rectangle's height is the average value. · La altura del rectángulo de área igual es el valor promedio.
Averages in context
- Average velocity over $[a,b]$ = $\frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt$ = displacement ÷ time.
- Average temperature, average rate, average concentration — all the same recipe.
- Read the units to interpret: the average of a rate is still a rate.
- It answers "what single steady value would produce the same total?"
Promedios en contexto
- Velocidad promedio sobre $[a,b]$ = $\frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt$ = desplazamiento ÷ tiempo.
- Temperatura promedio, tasa promedio, concentración promedio — todos siguen la misma receta.
- Lee las unidades para interpretar: el promedio de una tasa sigue siendo una tasa.
- Responde a la pregunta: "¿qué único valor estable produciría el mismo total?".
The definite integral $\int_a^b f\,dx$ by itself is the average value of $f$. · La integral definida $\int_a^b f\,dx$ por sí sola es el valor promedio de $f$.
That is the total; divide by $b-a$ for the average. · Ese es el total; divida por $b-a$ para obtener el promedio.
A car's displacement over $[0,2]$ h is $\int_0^2 v\,dt=120$ km. Find its average velocity (km/h). · El desplazamiento de un automóvil en $[0,2]$ h es $\int_0^2 v\,dt=120$ km. Encuentre su velocidad promedio (km/h).
$\tfrac{120}{2}=60$ km/h.
The average value divides by $b-a$ — don't confuse it with the definite integral alone (that's the total, an area). $\int_a^b f\,dx$ is accumulated amount; $\frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$ is average height. Forgetting the $\frac{1}{b-a}$ is the classic mistake.
El valor promedio se divide por $b-a$ — no lo confundas con la integral definida sola (esa es el total, un área). $\int_a^b f\,dx$ es la cantidad acumulada; $\frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$ es la altura promedio. Olvidar el $\frac{1}{b-a}$ es el error clásico.
Find the average value of $f(x)=x^2$ on $[0,3]$.
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^3=9$.
- Divide by the width: $f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{3-0}\cdot 9 = 3$.
- So a constant height of $3$ would enclose the same area over $[0,3]$.
Encuentra el valor promedio de $f(x)=x^2$ en $[0,3]$.
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^3=9$.
- Divide por el ancho: $f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{3-0}\cdot 9 = 3$.
- Así, una altura constante de $3$ encerraría el mismo área sobre $[0,3]$.
The average value of $f$ on $[a,b]$ is $f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ — the total (a definite integral) divided by the interval width. It's the constant height enclosing the same area, with the same units as $f$. Never drop the $\frac{1}{b-a}$.
El valor promedio de $f$ en $[a,b]$ es $f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ — el total (una integral definida) dividido por el ancho del intervalo. Es la altura constante que encierra el mismo área, con las mismas unidades que $f$. Nunca omitas el $\frac{1}{b-a}$.