Stellar radii · Radios estelares
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|---|---|
| temperature/ˈtemprɪtʃə/ | temperatura |
| Wien's displacement law/viːnz dɪˈspleɪsmənt lɔː/ | ley de desplazamiento de Wien |
| Stefan-Boltzmann law/ˈstefən ˈbɒltsmən lɔː/ | ley de Stefan-Boltzmann |
| blackbody/ˈblækbɒdi/ | cuerpo negro |
| wavelength/ˈweɪvleŋθ/ | longitud de onda |
| Stefan-Boltzmann constant/ˈstefən ˈbɒltsmən ˈkɒnstənt/ | constante de Stefan-Boltzmann |
No telescope can see a star as a disc
- Every star except the Sun is a point in even the largest telescope. Its disc is far too small to resolve.
- Yet the radius of a star thousands of light years away is a routine calculation, and it is done from two things you can measure: its colour and its brightness.
- Colour gives the surface temperature. Brightness and distance give the total power. Those two together give the size.
- This lesson is Wien's displacement law 维恩位移定律 and the Stefan-Boltzmann law 斯特藩-玻尔兹曼定律, and the three-step chain that joins them.
Ningún telescopio puede ver una estrella como un disco
- Toda estrella, excepto el Sol, es un punto incluso en el telescopio más grande. Su disco es demasiado pequeño para ser resuelto.
- Sin embargo, el radio de una estrella a miles de años luz es un cálculo rutinario, y se realiza a partir de dos cosas que puedes medir: su color y su brillo.
- El color da la temperatura superficial. El brillo y la distancia dan la potencia total. Esos dos juntos dan el tamaño.
- Esta lección trata sobre la ley del desplazamiento de Wien 维恩位移定律 y la ley de Stefan-Boltzmann 斯特藩玻尔兹曼定律, y la cadena de tres pasos que las une.
Wien's displacement law
- A hot body radiates a continuous blackbody 黑体 spectrum whose peak sits at a wavelength 波长 set by its temperature 温度:
- The wavelength at which the intensity is a maximum is inversely proportional to the thermodynamic temperature. Say "wavelength of maximum intensity", not just "the wavelength".
- The temperature must be in kelvin, and the law describes the peak of the continuous curve, not the spectral lines.
- Hotter means bluer: a red star near $3000\ \text{K}$ peaks in the infrared, the Sun near $5800\ \text{K}$ peaks around $500\ \text{nm}$, and a blue-white star near $20000\ \text{K}$ peaks in the ultraviolet.
Hotter, taller, and further left
Ley del desplazamiento de Wien
- Un cuerpo caliente irradia un espectro continuo de cuerpo negro 黑体 cuyo pico se sitúa en una longitud de onda 波长 determinada por su temperatura 温度:
- La longitud de onda a la que la intensidad es máxima es inversamente proporcional a la temperatura termodinámica. Di "longitud de onda de intensidad máxima", no solo "la longitud de onda".
- La temperatura debe estar en kelvin, y la ley describe el pico de la curva continua, no las líneas espectrales.
- Más caliente significa más azul: una estrella roja cercana a $3000\ \text{K}$ tiene su máximo en el infrarrojo, el Sol cercano a $5800\ \text{K}$ tiene su máximo alrededor de $500\ \text{nm}$, y una estrella blanco-azulada cercana a $20000\ \text{K}$ tiene su máximo en el ultravioleta.
Más caliente, más alto y más a la izquierda
Hotter stars have their spectral peak (Wien's law) at a ____ wavelength. · Las estrellas más calientes tienen su pico espectral (ley de Wien) en una longitud de onda ____.
$\lambda_{\max}T = b$, so a higher $T$ means a smaller $\lambda_{\max}$ — toward the blue. · $\lambda_{\max}T = b$, por lo que una $T$ mayor implica un $\lambda_{\max}$ menor — hacia el azul.
Which belong in a statement of Wien's displacement law? Select all · todos that apply. · ¿Qué elementos pertenecen a la afirmación de la ley del desplazamiento de Wien? Seleccione todos los que correspondan.
It is about the peak of the continuous black-body curve, not the lines. Saying only the wavelength loses the mark; say the wavelength of maximum intensity. · Se trata del pico de la curva continua de cuerpo negro, no de las líneas. Decir solo 'la longitud de onda' pierde el punto; se debe decir 'la longitud de onda de máxima intensidad'.
Worked example: taking a star's temperature
- A star's spectrum peaks at $500\ \text{nm}$. Find its surface temperature.
- $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2.90\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5800\ \text{K}$.
- Convert nanometres to metres first. The constant is in metre kelvin, so a wavelength in nm gives a temperature out by $10^9$.
- This one measurement is the whole reason a star's colour is useful: colour is temperature.
Ejemplo resuelto: obtener la temperatura de una estrella
- El espectro de una estrella tiene su máximo en $500\ \text{nm}$. Encuentre su temperatura superficial.
- $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2.90\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5800\ \text{K}$.
- Convierta primero los nanómetros a metros. La constante está en metro kelvin, así que una longitud de onda en nm da una temperatura incorrecta por un factor de $10^9$.
- Esta única medición es toda la razón por la que el color de una estrella es útil: el color es temperatura.
A star's spectrum peaks at $\lambda_{\max} = 500\ \text{nm}$. What is its surface temperature? ($b = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$) · El espectro de una estrella tiene su pico en $\lambda_{\max} = 500\ \text{nm}$. ¿Cuál es su temperatura superficial? ($b = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$)
$T = \dfrac{b}{\lambda_{\max}} = \dfrac{2.9 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} \approx 5800\ \text{K}$ — about the Sun. · $T = \dfrac{b}{\lambda_{\max}} = \dfrac{2.9 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} \approx 5800\ \text{K}$ — similar al Sol.
Match each star to where its spectrum peaks. · Asocie cada estrella con donde se encuentra el pico de su espectro.
Hotter peaks shorter. This one measurement is why a star's colour is useful: colour is temperature. · A mayor temperatura, el pico está en longitudes de onda más cortas. Esta única medición explica por qué el color de una estrella es útil: el color indica la temperatura.
The Stefan-Boltzmann law
- Treat the star as a blackbody sphere of radius $r$ at surface temperature $T$:
- $\sigma$ is the Stefan-Boltzmann constant 斯特藩-玻尔兹曼常量.
- Two dependences, and they are very different in strength. $L \propto r^2$: twice the radius, four times the luminosity. $L \propto T^4$: twice the temperature, sixteen times the luminosity.
- So a small error in temperature is a large error in luminosity, which is why the peak wavelength must be read carefully.
Ley de Stefan-Boltzmann
- Trate a la estrella como una esfera de cuerpo negro de radio $r$ a temperatura superficial $T$:
- $\sigma$ es la constante de Stefan-Boltzmann 斯特藩玻尔兹曼常量.
- Dos dependencias, y son muy diferentes en magnitud. $L \propto r^2$: el doble de radio, cuatro veces la luminosidad. $L \propto T^4$: el doble de temperatura, dieciséis veces la luminosidad.
- Por lo tanto, un pequeño error en la temperatura es un gran error en la luminosidad, por eso la longitud de onda del pico debe leerse con cuidado.
A star's luminosity and radius · Luminosidad y radio de una estrella
L ∝ r²
For a given surface temperature, a star's luminosity grows with the SQUARE of its radius (Stefan's law). · Para una temperatura superficial dada, la luminosidad de una estrella crece con el CUADRADO de su radio (ley de Stefan).
The Stefan–Boltzmann law gives a star's luminosity as: · La ley de Stefan–Boltzmann da la luminosidad de una estrella como:
$L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$ — strongly dependent on both radius and temperature. · $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$ — fuertemente dependiente tanto del radio como de la temperatura.
Using $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, which are true? Select all · todos that apply. · Usando $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, ¿cuáles son verdaderas? Seleccione todos los que correspondan.
L goes as r^2 and T^4. That fourth power is why the peak wavelength must be read carefully and corrected for redshift. · L varía con r² y T⁴. Ese exponente cuatro es la razón por la que la longitud de onda del pico debe leerse con cuidado y corregirse por el corrimiento al rojo.
Worked example: the luminosity of a Sun-like star
- A star has radius $7.0\times10^{8}\ \text{m}$ and surface temperature $5800\ \text{K}$. Find its luminosity.
- $L = 4\pi\sigma r^2 T^4 = 4\pi(5.67\times10^{-8})(7.0\times10^{8})^2(5800)^4 = 3.9\times10^{26}\ \text{W}$.
- Square the radius and raise the temperature to the fourth power. On a calculator, do $T^4$ as its own step and check its magnitude: $(5800)^4 \approx 1.1\times10^{15}$.
Ejemplo resuelto: la luminosidad de una estrella similar al Sol
- Una estrella tiene radio $7.0\times10^{8}\ \text{m}$ y temperatura superficial $5800\ \text{K}$. Encuentre su luminosidad.
- $L = 4\pi\sigma r^2 T^4 = 4\pi(5.67\times10^{-8})(7.0\times10^{8})^2(5800)^4 = 3.9\times10^{26}\ \text{W}$.
- Eleve al cuadrado el radio y eleve la temperatura a la cuarta potencia. En una calculadora, haga $T^4$ como paso propio y revise su magnitud: $(5800)^4 \approx 1.1\times10^{15}$.
If a star's temperature doubles (same radius), its luminosity multiplies by: · Si la temperatura de una estrella se duplica (mismo radio), su luminosidad se multiplica por:
$L \propto T^{4}$, so doubling $T$ gives $2^{4} = 16$ times the luminosity. · $L \propto T^{4}$, por lo que duplicar $T$ da $2^{4} = 16$ veces la luminosidad.
Same luminosity, opposite stars
- Because $L$ depends on both $r$ and $T$, two completely different stars can have the same luminosity.
- A red giant is cool, so its $T^4$ is small, but it is enormous, and the $r^2$ makes up for it.
- A white dwarf is very hot but tiny: a huge $T^4$ against a minute $r^2$.
- Whenever an answer looks surprising, check it this way. A star $140$ times as luminous as the Sun but only $1.6$ times as hot must be considerably bigger, since $L \propto r^2T^4$.
Misma luminosidad, estrellas opuestas
- Como $L$ depende tanto de $r$ como de $T$, dos estrellas completamente diferentes pueden tener la misma luminosidad.
- Una gigante roja es fría, por lo que su $T^4$ es pequeña, pero es inmensa, y el $r^2$ lo compensa.
- Una enana blanca es muy caliente pero minúscula: un enorme $T^4$ frente a un minuto $r^2$.
- Cada vez que una respuesta parezca sorprendente, compruébela así. Una estrella $140$ veces tan luminosa como el Sol pero solo $1.6$ veces tan caliente debe ser considerablemente más grande, ya que $L \propto r^2T^4$.
Put the three steps for estimating a star's radius in order. · Coloque en orden los tres pasos para estimar el radio de una estrella.
Each step is one line. Keep full precision of L and T until the end, because T is raised to the fourth power. · Cada paso es una línea. Mantenga la precisión completa de L y T hasta el final, porque T está elevada a la cuarta potencia.
Estimating a radius, in three steps
- One. Measure $\lambda_{\text{max}}$ and get $T$ from Wien's law.
- Two. Get $L$, usually from the flux and distance: $L = 4\pi d^2 F$.
- Three. Solve the Stefan-Boltzmann law for the radius:
- Each step is one line. Keep the full precision of $L$ and $T$ until the end, because $T$ is raised to the fourth power and rounding it early is expensive.
Estimación de un radio, en tres pasos
- Uno. Mide $\lambda_{\text{max}}$ y obtén $T$ de la ley de Wien.
- Dos. Obtén $L$, usualmente a partir del flujo y la distancia: $L = 4\pi d^2 F$.
- Tres. Despeja la ley de Stefan-Boltzmann para el radio:
- Cada paso es una línea. Mantén la precisión completa de $L$ y $T$ hasta el final, porque $T$ está elevado a la cuarta potencia y redondearlo antes tiene un alto costo numérico.
Combining Wien's law and the Stefan–Boltzmann law lets us estimate a star's radius. · Combinar la ley de Wien y la ley de Stefan–Boltzmann nos permite estimar el radio de una estrella.
Wien gives $T$, the flux and distance give $L$, then $r = \sqrt{\dfrac{L}{4\pi\sigma T^{4}}}$. · Wien da $T$, el flujo y la distancia dan $L$, entonces $r = \sqrt{\dfrac{L}{4\pi\sigma T^{4}}}$.
Sunlight has flux 1370 W/m^2 at 1.50e11 m and the Sun's spectrum peaks at 500 nm. What is the Sun's radius, in units of 1e8 m? · La luz solar tiene un flujo de 1370 W/m² a 1.50e11 m y el espectro del Sol tiene su pico en 500 nm. ¿Cuál es el radio del Sol, en unidades de 1e8 m?
L = 4 pi d^2 F = 3.87e26 W, T = 5800 K, then r = sqrt(L / (4 pi sigma T^4)) = 6.9e8 m against an accepted 6.96e8 m. Three one-line formulae, no telescope resolution needed. · L = 4 pi d^2 F = 3.87e26 W, T = 5800 K, luego r = sqrt(L / (4 pi sigma T^4)) = 6.9e8 m frente a un valor aceptado de 6.96e8 m. Tres fórmulas de una sola línea, sin necesidad de resolución telescópica.
Worked example: the radius of the Sun, from scratch
- Sunlight at the Earth has flux $1370\ \text{W/m}^2$ at $1.50\times10^{11}\ \text{m}$, and the Sun's spectrum peaks at $500\ \text{nm}$. Estimate the Sun's radius.
- Luminosity: $L = 4\pi d^2 F = 4\pi(1.50\times10^{11})^2(1370) = 3.87\times10^{26}\ \text{W}$.
- Temperature: $T = 2.90\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5800\ \text{K}$.
- Radius: $r = \sqrt{\dfrac{3.87\times10^{26}}{4\pi(5.67\times10^{-8})(5800)^4}} = 6.9\times10^{8}\ \text{m}$.
- The accepted value is $6.96\times10^{8}\ \text{m}$. Three one-line formulae, no telescope resolution required.
Ejemplo resuelto: el radio del Sol, desde cero
- La luz solar en la Tierra tiene un flujo $1370\ \text{W/m}^2$ a $1.50\times10^{11}\ \text{m}$, y el espectro del Sol alcanza su máximo en $500\ \text{nm}$. Estima el radio del Sol.
- Luminosidad: $L = 4\pi d^2 F = 4\pi(1.50\times10^{11})^2(1370) = 3.87\times10^{26}\ \text{W}$.
- Temperatura: $T = 2.90\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5800\ \text{K}$.
- Radio: $r = \sqrt{\dfrac{3.87\times10^{26}}{4\pi(5.67\times10^{-8})(5800)^4}} = 6.9\times10^{8}\ \text{m}$.
- El valor aceptado es $6.96\times10^{8}\ \text{m}$. Tres fórmulas de una sola línea, sin necesidad de resolución telescópica.
In $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ and · y $F = L/(4\pi d^2)$, the lengths $r$ and · y $d$ mean the same thing. · En $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ y $F = L/(4\pi d^2)$, las longitudes $r$ y $d$ significan lo mismo.
r is the star's own radius; d is its distance from us. Swapping them is the commonest error in this topic, and the two differ by many orders of magnitude. · r es el propio radio de la estrella; d es su distancia desde nosotros. Intercambiarlas es el error más común en este tema, y difieren entre sí por varios órdenes de magnitud.
Marks that slip away
- Wien's law is about the wavelength of maximum intensity, and $T$ must be in kelvin.
- Convert $\lambda_{\text{max}}$ to metres; the constant $b$ is in metre kelvin.
- In $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, $r$ is the star's radius; in $F = L/(4\pi d^2)$, $d$ is the distance to us. Two different lengths, and swapping them is the commonest error in this topic.
- Keep full precision until the last line, because $T$ is to the fourth power.
- For a receding galaxy, correct the observed peak before using Wien's law, or the temperature comes out too low.
Puntos que se pierden fácilmente
- La ley de Wien se refiere al longitud de onda de máxima intensidad, y $T$ debe estar en kelvin.
- Convierte $\lambda_{\text{max}}$ a metros; la constante $b$ está en metro-kelvin.
- En $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, $r$ es el radio de la estrella; en $F = L/(4\pi d^2)$, $d$ es la distancia a nosotros. Son dos longitudes diferentes, e intercambiarlas es el error más común en este tema.
- Mantén la precisión completa hasta la última línea, porque $T$ está elevado a la cuarta potencia.
- Para una galaxia en receso, corrige el pico observado antes de usar la ley de Wien, o la temperatura resultará demasiado baja.
You've got it
- Wien's displacement law: the wavelength of maximum intensity is inversely proportional to the thermodynamic temperature, $\lambda_{\text{max}}T = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$
- Stefan-Boltzmann: $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, so luminosity goes as the square of the radius and the fourth power of the temperature
- a radius comes in three steps: $\lambda_{\text{max}} \to T$, then $F$ and $d \to L$, then $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^4)}$
- keep $r$ (the star) and $d$ (to us) apart, and hold full precision until the end because of the $T^4$
Lo has entendido
- Ley de desplazamiento de Wien: la longitud de onda de máxima intensidad es inversamente proporcional a la temperatura termodinámica, $\lambda_{\text{max}}T = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$
- Stefan-Boltzmann: $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, por lo que la luminosidad depende del cuadrado del radio y de la cuarta potencia de la temperatura
- un radio se calcula en tres pasos: $\lambda_{\text{max}} \to T$, luego $F$ y $d \to L$, y finalmente $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^4)}$
- mantén separados $r$ (la estrella) y $d$ (hacia nosotros), y conserva la precisión completa hasta el final debido al $T^4$